极限不存在的证明_证明极限不存在

极限不存在的证明由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“证明极限不存在”。

不如何证明极限不存在一、归结原则

原理:设f在U0(x0;')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于

xx0

U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。

'

n

例如：证明极限limsin

x0

1x

不存在12n

证：设xn

1n

,xn



(n1,2,)，则显然有

xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。



00,si11(n)xnxn

二、左右极限法

原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)arctan(因为limarctan（x0



1x)

当x

0

时的极限不存在。

1x)

1x)



x=0，limarctan（x0





2，limarctan（x0



1x)limarctan（x0

1x)，所以当x0时，arctan（1x)的极限不存在。

三、证明x时的极限不存在原理：判断当x



时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者

相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x

x



时的极限不存在x

x

xxxx

因为lime0，lime；因此，limelime

x

所以当x

四、柯西准则



时，ex的极限不存在。

0'

原理：设f在U(x0;)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给

xx0

0，存

在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n

x1

n,x1

n1，令

2即证。

五、定义法

原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x

x时没有极限。例如：证明limcosx不存在设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义）数学归纳法