如何证明极限不存在_极限不存在的证明

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如何证明极限不存在

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|

和|sin-L|

同时成立。

即|1-L|

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

反证法：

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)

矛盾

所以原命题成立

令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1

两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：

(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用数学归纳法证此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

则，当n=n1+1时:

式二两端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)

因此二项式定理(即式一成立)

下面用二项式定理计算这一极限：

(1+1/n)^n(式一)

用二项式展开得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。