第六章证明(一)_第六章证明一

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数学八年级下册第六章证明

（一）分析

一、教材分析

⒈ 本章在教材中的地位与作用

本章是在前面对几何结论已经有了一定的直观认识的基础上编排的，属于本套教科书几何证明阶段的第一步.虽然只是证明的初步，但是它对认识证明的必要性，了解作为证明基础的定义、命题、定理等非常重要.同时，通过有关平行线和三角形的一些简单定理的证明，初步掌握证明的要求和格式，这对发展证明素养也十分重要.另外《课标》还指出“要把证明作为探索活动的自然延续和必要发展”，本章的一个重要任务是激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心.2.学习目标：①通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论；②掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据；③通过学习力争达到思考周到、做事严谨、说理有据，用心认识周围世界，逐步形成正确的世界观和价值观.3.重难点分析

本章的重点有：①对推理证明中相关概念意义的理解；②性质定理与判定定理的区别与辨析；③总结公理推证新结论，体验公理化思想，加强证明书写格式训练.本章的难点有：①合乎逻辑的写出证明过程；②本章所涉及的许多结论都是学生所熟悉的，因此在区分哪些可以作为证明的依据，哪些不可以作为证明的依据也是教学难点之一；

所以克服难点的关键就在于对每个定理、推论都要熟练掌握,并通过典型题目的训练体会其中的方法和规律.学生初次接触严格的证明和相关的符号化表示时，会遇到比较的的困难，教学时应要求学生做到步步有据，并说明其依据的合理性。教师对学习有困难的学生要有足够的耐心，并给与一定的辅导。

4.学情分析

前面几册课本中的几何结论都是学生通过观察从直观中获得的，其正确性均有待证明，尽管课本对几个结论进行过简单说理，让学生接触了推理论证的基本知识，但学生并未真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼.另外，辅助线的添加 也是学生在几何证明过程中遇到的一个难题，又由于学生个体之间的差异比较大，所以在学习中要循序渐进.5.需要注意的几个问题

①本章的学习内容与解决问题主要体现了构造思想、化归思想和公理思想，如添加平行线、构造新三角形或三角形的外角等，其中化归思想主要表现在对问题的转化，如代换转化、已知与未知的转化及特殊与一般的转化.②证明命题主要采用了综合法与分析法相结合的解题方法.学生初次接触逻辑证明往往感到无从下手，需利用“前推后退”的分析法先理清思路，再用综合法写清证明过程.③中考对证明的格式要求比较严格，要求步步有据，因此必须强化证明意识.对于一个命题的证明，先要分析已知和结论，然后准确画出图形，认真观察，再分析推理证明的思路，最后写出正确的证明格式.对于每个命题的证明，提倡多角度思考问题，发展自我推理证明和素养.需要阐明的观点是：本章的任务有局部和全局之分，如果仅仅局限与本章来看，安排的知识并不是很难，大部分学生都能比较顺利的掌握本章内容，但是从几何教学的全局来看，本章很像数学史上欧几里德几何产生前后的状况，欧式几何利用几条基本原理把前人发现的几何知识串联起来，组成一个严密的演绎体系，所以我们要做出比本章所展现出来的内容要多的多的努力，使学生在本章对整个几何有一个相对全局的认识。

全局观下的任务是否可以包括：

1.了解几何的演绎体系，尽可能把知识进行串联，优化知识结构； 2.了解几何的主要研究对象，主要工具和方法；

3．有意识渗透一点逻辑学的基本知识，合乎逻辑的思考和展开论证；

4.教师更要多掌握一些基本逻辑原理，还要善于利用生活中最通俗的例子向学生渗透这些原理，让学生少犯逻辑错误。

二、各节的主要任务

第一节：理解证明的必要性与证明的基本含义（有理有据的推导）

第二节：了解推理论证的基础，初步体会公理化思想；通过具体例子了解定义，定理的含义，会区分命题的条件与结论，知道反例的意义和作用。

建议给出一批数学概念，并初步了解下定义的方法，举出较多的生活实例，渗透逆命题的思想。

了解公理、证明、定理、推论的含义，可大量举例，唤醒知识体系。

明确证明的公理系统和等量公理，建议证明“对顶角相等”这个命题。第三节：图形的判定，第四节：图形的性质，以上两节互逆，但不能互用，渗透逆命题的思想。

体会认识一个几何图形的历程：下定义、作图，研究性质，判定方法，应用。第五节：内角和定理，辅助线思想，推论的价值，变式应用，图形的分解与补形，有意识寻找，常用方法的总结，基本图形的总结，部分模型的建立。

三：解题分析的范例：

例题：已知：如图∠1＝∠2.求证：a∥b.解题分析过程：

a b

1．浮现数学表象，启动思维齿轮

基本类型：是由数量关系确定位置关系

有三个可以展开的逻辑起点：

∠

1b

（1）图形唤起的思考：三线八角

（2）∠

1＝∠2唤起的思考：数量关系，是否有其他数量关系？（3）a∥b唤起的思考：平行线的相关原理。2．产生数学直感

由上面三方面的唤起，促使我们更加专注于图形，三线八角的各种关系会不断的在眼前组合与变换，其中∠2与∠3是对顶角

这种关系是解题的重大进展。

有效提取∠2与∠3是对顶角相等，∠1与∠3是同位角，这促使我们思考∠1与∠3是否相等，也促使我们把已有表象a b

∠1＝∠2与∠2=∠3产生新的联结（逻辑的推动），得到∠1＝∠3。

3．给出逻辑证明 ∠2＝∠3

4．反思解题过程

（1）我们把这个证明分解为三个步骤：

①从图形中看出∠2与∠3成对顶角，并得出∠2＝∠3，这是由位置关系推出数量关系；

②把已知条件用上，将两个等式∠1＝∠2，∠2=∠3结合起来得到∠1＝∠3，这是由数量关系推出新的数量关系；

③从图形中看出∠1与∠3为同位角，其相等可到出a∥b，这是由数量关系推出位置关系.（2）根据上面的整体分解，可将这个证明的书写加以充实：

∠1＝∠

21＝∠3 a∥b

b

（3）这个图形已经显示出，解题中用到了那些知识（或方法），顺序及配合，只需将其再作充实，便可更自觉和直观的看到，解题过程是这一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合。

补充研究一：几何学习困难的原因分析与对策

1.知识本身的原因：

① 知识点多，相对杂乱不系统，有效知识点提取困难；

② 文字语言、符号语言、图形语言相互结合，难度大，不易接受； ③ 严谨、抽象、逻辑性强，易造成学习者畏惧心理；

④ 问题解决需要的知识、技巧、能力储备较多，综合能力要求高，选择性强； ⑤ 平面几何最初的知识比较枯燥，缺乏美感和吸引力；

⑥ 不易通过自身努力形成系统学习方法，对老师的依赖相对较高，2.教材的原因：

① 知识点星罗棋布，逻辑展开有些混乱；

② 实验说理与严格论证脱节明显，不太符合学生几何水平发展规律；

③ 符合几何精神的变式操练不足，学生解题体验积累不足；

④ 几何作图学习要求偏弱，没有能够在几何作图中体验基本图形的性质与判定； 3.学生的原因：

① 学生处于形象思维向逻辑思维转变的初期，个体发展差异大，逻辑思维能力偏弱是学习几何的主要障碍之一，但这也是几何教学的主要发展目标之一，不能抱怨，只能在学习过程中发展；

② 几何语言学习理解存在障碍，图形分析能力弱，不能综合看问题； ③ 最初学习兴趣不易建议，学习过程中容易丧失信心，对情感态度要求高。4.教师与教法的原因：

① 教师不满足于教材，但依靠个人力量的整合又力不从心；

② 教师对整个初中几何的体系、结构、思想方法也不能应用自如，缺乏深入研究； ③ 教师没有掌握几何学习从入门到深入到提高的关节点，教师对教好几何与代数相比缺乏措施与办法，没有给学生提供更有效的推动。

5.学生在几何中的困难表现：

① 文字信息与图形信息不能相互结合；

② 对图形不能全局把握，不能沟通联系，不能合并与拆分；

③ 对三段论的推理形式不能融会贯通，逻辑链条混乱中断，走偏，不过语言关； ④ 对定义、命题、性质、判断的关系不能理顺； ⑤ 只能模仿，不能创新，缺乏主动探究策略；

⑥ 缺乏兴趣、成功感，有畏难情绪，知难而退。

总体认为，与代数相比，学生更不能自发的学好几何，几何的学习，对教师提出的更高的要求，需要教师在解题思路的探究和对探究的反思中充分暴露自己的思维过程，提高学生解决新问题的能力。

6.几何教学要过三关：

1.入门关：语言与兴趣，在线段与角的对比学习中增强对数学的感受，关注作图，析图，建议一些基本推理模型。

2.深化关：就是本阶段，证明（1）-(3),了解几何特征，优化知识结构，明确几何证明的精神，建立学习信心。

3.提高关: 进行解题分析，建构解题策略，增强有意识创新和问题解决能力。补充研究二：在某个恰当时机突破欧氏几何的基本精神：

1．几何证明的含义和研究对象：

在初中阶段，所谓几何证明，主要是指利用逻辑推理的方式说明几何的主要研究对象线段和角之间的某种关系是否成立．这些关系主要包括：

本结构图虽然不够全面细致，却体现了几何证明的基本含义、内容和方法，当然还需要大家根据自己的不同情况不断的丰富和完善它．

2．几何证明的核心工具：全等三角形，因为它是线段和角之间的相等关系进行转化的主要工具；平行四边形，因为它上通全等三角形，下达菱形、矩形、正方形、等腰梯形．

3．重要几何概念及相关定理：（1）中点： 相等，中位线定理；

（2）角平分线：相等，角平分线定理及逆定理；

（3）线段垂直平分线： 相关定理及逆定理．

4．明确常用基本图形的性质及重要模式图的推理功能：（1）常用基本图形：

①等边三角形；②等腰直角三角形；③30的直角三角形；④三线合一； ⑤直角三角形斜边高

（2）重要模式图的推理功能：

①双角平分线推90；②双垂直推角等；③角平分线加平行线推等腰； ④中线加倍法

5．准确作图是学好几何的重要基础，因为作图有助于结论的合理猜想，作图更是图形判定定理学习的良好时机

①等边三角形；②等腰直角三角形；③平行四边形；④矩形、菱形、正方形； ⑤等腰梯形

6.一个简单推理都要有三段论形式：第一句话是推理的依据，第二句话是推理的原因，第三句话是推理的结果（结论），在数学中，“因为”用“∵”表示，“所以”可用“∴”，而且将推理的依据常写在所得结论的后面，用括号括起来。

补充三：七八年级平面几何相关章节