巧用函数的单调性证明不等式_函数单调性证明不等式

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巧用函数的单调性证明不等式

在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式十分便捷，以下举例说明。

例1 已知

求证：。分析：直接求证非常困难，观察条件及所证结论不难发现a、b、c是对称的，变形所证不等式为

构造函数。，只需证恒成立。

例2 已知a、b。分析：应用比较法、分析法等证明都较繁琐，观察其左、右两边为函数

别令对应的函数值。中分构造函数。

例3 已知。

证法1：因为左右两边分别具有

证法2：要证只要证

证法3：两边写成设 后为比值形式，亦可构造三角函数证明。则点A（b,a），B（-m，-m）在坐标系中位置如图1。

例4 设a>0，求证 证明：

上述不等式转化为类型，通过构造函数。应用函数性质：（1）k>0，0）及时，在单调递减，在）上单调递增；（2）k

（0，）上分别递增。证明一些不等式非常便捷。

例5 求证 证明：因为

对于构造以上类型的函数进行推广，如，亦可转化为的形式。分母变为熟悉的类型，如：

例6 求证：。证明：

对于一些结构较复杂的不等式，需要统观全局，整体把握，合理代换，化复杂为简单，从而达到顺利求证的目的。

例7 已知。分析：设是关于a,b的二次奇次式。由条件得b>0 若令：

同样，证明不等式若能构造具有型的函数，亦可根据a、b的正负确定函数相应的单调性区间，同以上方法一样类似进行证明，这里不再缀述。

总之，不等式与函数有着广泛的联系，函数的单调性是通过不等式体现的。因此，在不等式证明时，注意从题目信息中发现解题契机，通过联想巧妙构造函数，应用函数的单调性进行证明，不失为一种重要而简捷的方法。