复合函数的单调性的证明_函数单调性的证明

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复合函数的单调性的证明

例

1、已知函数yf(x)与yg(x)的定义域都是R，值域分别是0,与,0，在R上f(x)是增函数而g(x)是减函数，求证:F(x)f(x)g(x)在R上为减函数.分析：证明的依据应是减函数的定义.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则F(x1)F(x2)f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)

f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)g(x2)g(x2)f(x1)f(x2)

f(x)是R上的增函数，g(x)是R上的减函数，且x1x2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)即f(x1)f(x2)0，g(x1)g(x2)0.又f(x)的值域为0,，g(x)的值域为,0，f(x1)0,g(x2)0.F(x1)F(x2)0即F(x1)F(x2)

F(x)在R上为减函数.小结：此题涉及抽象函数的有关证明，要求较高，此外在F(x1)F(x2)的变形中涉及到增减项的技巧，它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值，必须构造出f(x1)与f(x2)的差和g(x1)与g(x2)的差.