构造一次函数证明不等式_构造函数证明不等式

构造一次函数证明不等式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“构造函数证明不等式”。

构造一次函数证明不等式一次函数是同学们非常熟悉的函数.由一次函数ykxb的图象可知,如果f(m)0,f(n)0,则对一切x(m,n)均有f(x)0.我们将这一性质称为一次函数的保号性.利用一次函数的保号性可以证明一些不等式.例1 设a、b、c都是绝对值小于1的实数,求证:abbcca1.分析因为abbcca(bc)abc,故可考虑f(x)(bc)x bc1.显然有

f(1)bcbc1(b1)(c1)0

f(1)(bc)bc1(b1)(c1)0

根据保号性知,当1x1时,f(x)0而1a1,故f(a)0,即原不等式获证.例2a、b、c都是小于k的正数,求证:a(kb)b(kc)c(ka)k2.分析 构造一次函数.令Ak2[a(kb)b(kc)c(ka)].因变量较多,可用主元法,把a当作主元,重新整理得:

A(bck)abc(bc)kk,2将A看作关于a的一次函数,注意到0ak, 当a0时,Ak2(bc)kbc(kb)(kc)0 当ak时,A(bck)kbc(bc)kk2bc0 这说明,当a0与ak时,函数图象上对应的两点P、Q(横坐

1标分别为0、k)都在x轴上方,由一次函数的保号性可知,当0ak时,Af(a)0

即a(kb)b(k)c(ck)a 2k

例3已知a

1、b

1、c1,求证:abc2abc.分析 首先将不等式化为abc2abc0并整理成功之路

(bc1)a2bc0

可将其看成是关于a的一次式.证明:构造函数f(x)(bc1)x2bc,这里b

1、c

1、x1,则bc1.因为f(1)1bc2bc(1bc)(1b)(1c)0

f(1)bc12bc(1b)(1c)0

所以,一次函数f(x)(bc1)x2bc,当x(1,1)时,图象在x轴的上方.这就是说,当a

1、b

1、c1时,有(bc1)a2bc0,即abc2abc.从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行:

⑴将不等式先移项使右边为零;

⑵将不等号左边的式子整理成关于某一未知数x的一次式f(x)0;

⑶根据x的取值范围(m,n),确定f(m)与f(n)的符号,确定当x(m,n)时f(x)的符号进而证得不等式.构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果.