利用函数的单调性证明不等式_函数单调性证明不等式

利用函数的单调性证明不等式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“函数单调性证明不等式”。

利用函数的单调性证明不等式

单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快.下面主要讨论单调性在不等式中的应用.定义3.1[8]设函数fx的定义域为D , 区间I D , 如果对于区间I上任意两点x 1及x2, 当x1x2时, 恒有fx1 fx2, 则称函数fx在区间I上是单调增加的;如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时, 恒有fx1 > fx2, 则称函数fx在区间I上是单调减少的.定理3.1[8]设函数yfx在a,b上连续, 在a,b内可导.如果在a,b内fx0 , 那么函数y  fx在a,b上单调增加;如果在a,b内fx0 , 那么函数y  fx在a,b上单调减少.利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明.例3.１[3]当0x

2时, 证明:2

sinx1.x

证明构造函数f(x)sinx, 则 x

f'(x)xcosxsinxcosx2(xtanx).x2x

因为0x

调减函数.2'时, xtanx0, 即f(x)0.所以由定义知f(x)在(0,2)内为严格单

x0limf(x)f(x)limf(x).x02

f(x)1, 而limx0limf(x)x022,故1sinx2.x

x2

ln1xx.当x0 时, 证明: x2例3.2[2]

证明构造函数f(x)ln(1x)x, 则f'(x)1x, 当x0时, 11x1x

f'(x)0.所以定义知f(x)在0,内为严格单调减函数.f(x)f(0)0, 即 故x0时f(x)limx0

ln(1x)x0,ln(1x)x.x21x2

'ln(1x), 则g(x)1x再构造函数g(x)x.21x1x

当x0时g(x)0, 所以由有限增量公式知g(x)在x0时为严格单调减函数,故当x0 时, g(x)limg(x)g(0)0.即 x0'

x2x2

xln(1x)0,xln(1x).22

x2

ln1xx.综上所证, 当x0 时x2