35 直接证明与间接证明（材料）_直接证明与间接证明

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【2012高考数学理科苏教版课时精品练】作业35第五节 直接证明与间接证明

1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得0

∴A＝{x|0

由A⊆B，知a>4，所以c＝4.答案：

4x2．(2010年高考山东卷)若对任意x>0a恒成立，则a的取值范围是________． x＋3x＋

1xx解析：若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1

x因为x>0，设y，x＋3x＋1

x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx

1当且仅当x＝ x

1所以a的取值范围是[∞)．

51答案：[)5

1113．设a、b、c都是正数，则ab＋，c＋三个数_______． bca

①都大于

2②至少有一个大于2 ③至少有一个不大于2

④至少有一个不小于2

111111解析：假设三个数都小于2，则a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca

＝6，与假设矛盾．故④正确．

答案：④

1－x4．(2011年盐城质检)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于________． 1＋x

1－x解析：易证f(x)＝是奇函数，1＋x

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b

5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小关系为________．

解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大mn

abcd＝p.答案：q≥p

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a＞2)上单调递增且f(x)＞0，则以下不等式不一定成立的是________．

①f(a)＞f(0)

1－3a③f＞f(－a)1＋aa＋12＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；

1＋a∵a，∴②成立； 2当a＞2时，1－3a＜0，又f(x)为奇函数，1－3a＝－f3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f1＋a1＋a

3a－13a－1＜f(a)⇔3a－1＜a 且1，∴③即f1＋a1＋a1＋a

23a－1－a－1⇔a0，∴③成立； 1＋a1＋a

3a－1＜f(2)⇔3a－1－2a－3

a－3由于a>2时a－3的符号不确定，∴＜0未必成立． 1＋a

答案：④

a2b

27．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b为常数，则________． x1－x

2a2b2b2x2a1－x解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x1－x

≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)

28．(2011年南通调研)如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，试用分析法证明：||＜1.1－xy

证明：因为|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要证|＜1，1－xy

x－y2只需证|＜1.1－xy

⇐|x－y|2＜|1－xy|2

⇐x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2

⇐x2＋y2－1－x2y2＜0

⇐(y2－1)(1－x2)＜0

⇐(1－y2)(1－x2)＞0，因为|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，从而(1－y2)(1－x2)＞0成立．

x－y故|＜1.1－xy

10．如图所示，已知△ABC是锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求证：H不可能是△SBC的垂心．

证明：假设H是△SBC的垂心，则BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.这与△ABC为锐角三角形矛盾，所以H不可能为△ABC的垂心．

11．(探究选做)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈

(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明．

解：(1)取x1＝x2＝0可得

f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．

证明如下：

显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0；

也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]

＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]

＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1

＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．