不等式证明与最值问题_绝对值不等式证明
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不等式证明与最值问题
（一）均值不等式的运用(1)
均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。
（1）注意“1”的代换：已知x＞0，y＞0，满足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36
注意：千万不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 归纳： x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。
解：因为(a/x)+(b/y)=
1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习：
1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）
2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）
（2）
1、已知a＞0，b＞0，求证：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8
解：(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞1/3 解：a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc
因为a,b,c为不全相等的实数，故：上面三式不能同时取等号。故：2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ac
故：3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²=
1故：a²+b²+c²＞1/
3练习：
1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）
2、若x，y＞0,且2x²+y²/3=8，求x√(6+2y²)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y²)平方]
（3）a＞0，b＞0，c＞0，求证：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a
=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a
=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6
（4）a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c
解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)
=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c
（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 证明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c
故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c
（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值
解：因为x＜0，故：-x＞o
故：(-x)+(-1/x)≥
2故：y=x+1/x≤-2
(7)
1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值
解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此时a=2,b=
12、若0＜x＜1,求证：a²/x+b²/(1-x)≥(a-b)²
解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜
1∴a²/x+b²/(1-x)=a²/x·[x+(1-x)]+b²/(1-x)[x+(1-x)]
=a²+a²(1-x)/x+b²+b²x/(1-x)≥a²+b²+2ab=(a+b)²
当a²(1-x)/x=b²x/(1-x)时，取等号。
练习：当a＞1时，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）
（一）均值不等式的运用(2)
均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab
附： 完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。
(8)已知二次函数f(x)=ax²-bx+c，且f(x)=0的两根为x1，x2都在(0,1)内，求证：f(0)·f(1)≤a²/16
证明：因为f(x)=0的两根为x1，x2，故：可设f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因为0＜x1＜1, 0＜x2＜1
故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a²·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a²·[(x1+1-x1)/2] ² ·[(x2+1-x2)] ²= a²/16
(9)已知a,b＞0,a+b=1，求证：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤
2证明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2
同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2
故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2
（10）a,b,c＞0,比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a的大小
解： a²+b²≥2ab
故：a²-ab+b²≥ab
不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变。
可得:a³+b³≥a²b+b²a(1)
同理可得:b³+c³≥b²c+c²b(2)
c³+a³≥c²a+a²c(3)
(1)+(2)+(3)得：
2(a³+b³+c³)≥2(a²b+b²c+c²a)
a³+b³+c³≥a²b+b²c+c²a
（11）设a、b、c都是正数，求证1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）证明：因为(a-b)²≥0
故：a²-2ab+b²≥0
故：a²+2ab+b²≥4ab
故：(a+b)²≥4ab[两边同时除以4ab/(a+b)]
故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)
故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)
同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)
故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）
故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）
（12）均值代换：已知a+b=1,a,b∈R,求证：(a+2)²+(b+2)²≥25/2 解；∵a+b=1,设a=1/2+t,b=1/2-t
故：(a+2)²+(b+2)²=2t²+25/2≥25/
2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求证：1/x+1/y≥3+2√2
证明：设2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)
故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2
（二）利用判别式“△=b²-4ac”及一元二次方程
1、若x²+xy+y²=1,且x，y为实数，则x²+y²的取值范围？
解：令t=x²+y²＞0
故： y²=t-x²
故：y=±√(t-x²)
故：t±x√(t-x²)=
1故：x²(t-x²)=(1-t)²
故：x^4-tx²+(1-t)²=0
故：△=t²-4(1-t)²≥0
故：2/3≤t≤
2即：2/3≤x²+y²≤22、设a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值
解：ab≤[(a+b)/2] ²，故：[(a+b)/2] ²-(a+b)-1≥0
故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]
故：a+b的最小值是2√2+2，此时a=b=√2+
1因为ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+
33、设a+b+c=1, a²+b²+c²=1且a＞b＞c,求证：-1/3＜c＜0
证明：因为a+b+c=1，故：(a+b+c)²=1，即：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 因为a²+b²+c²=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一个负数
因为a＞b＞c，故：c＜0
因为a+b+c=1，ab+ac+bc=0
故：a+b=1-c，ab=c(1-c)
故：a、b可以看作方程x²+(c-1)x+c(1-c)=0两个不相等的实数根
故：△=(c-1)²-4c(c-1)＞0
故：(c-1)(c-1-4c)＞0
故：-1/3＜c＜
1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值
解：设X+Y=t，因为X>0,Y>0
故：t>0
因为XY-X-Y=
1故：XY＝1+t
故：X、Y可以看作方程z²-tz+(1+t)＝0的两个实数根
故：△=t²-4(1+t)≥0
故：t²-4t-4≥0
(t-2)²≥8
故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因为t>0）
故：t≥2√2＋
2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此时X＝Y＝√2＋
15、.已知正数ab满足a+b=1，求ab+1/ab的最小值
解： ∵正数ab
∴ab+1/ab≥
2令ab+1/ab=t≥2
故：ab=[t±√(t²-4)]/2
故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t²-4)]/2=0的两根
故：△=1-4×[t±√(t²-4)]/2≥0
故：±√(t²-4)≥t-1/
2因为t-1/2＞0
故：√(t²-4)≥t-1/2＞0
故：t≥17/
4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此时a=b=1/2
（三）利用几何意义求极值
1、求下面函数的极小值：y=√(x²+4)+√[(12-x)²+9]
解：√(x²+4)+√[(12-x)²+9]可以看作点(x,0)到点(0,2)和(12,3)的距离之和 而点(0,2)关于x轴的对称点是(0,-2)
故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之间的距离，即：132、a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边，若（m,n)在直线ax+by+2c=0上，求m²+n²的最小值
解：因为a,b,c分别为直角三角形的三边，c为斜边
故：a²+b²=c²
因为√(m²+n²)=√[(m-0)²+(n-0)²]，即：√(m²+n²)表示点（m,n)到原点距离，因为（m,n)在直线ax+by+2c=0上
而原点到直线的距离是∣a×0+b×0+2c∣/√(a²+b²)=2c/c=2
故：m²+n²的最小值是2²=4，此时n=-2b/c，m=-2a/c
