不等式的证明练习_不等式的证明练习题

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不等式的证明练习

A级

一、选择题 1.2+7与3+6的大小关系是()A.2+≥+B.2+7≤3+6 C.2+>+6D.2+7

3332.设a、b、c∈R且a、b、c不全为0，则不等式a+b+c≥3abc成立的一个充要条件是

()

A.a、b、c全为正数B.a、b、c全为非负实数

C.a+b+c≥0D.a+b+c>0

3.若实数ab满足0

A.2B.a+bC.2abD.a

4.设实数a、b满足a+b＝3,则2+2的最小值是()

A.6B.42C.22D.26

5.已知a>0且a≠1，M＝loga，N＝loga则M与N的大小关系是()

A.M

C.M>ND.不确定随a的变化而变化

二、填空题

226.已知x+y＝4，则2x+3y的取值范围为.(a31)(a21)ab

ba

7.若不等式a+b>2成立，则a与b满足的条件是.8.b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式.三、解答题

(ab)2ab(ab)

29.已知a>b>0.求证：8a

AA级

一、选择题

1.已知下列不等式：

2+①x+3>2x(x∈R)

553223②a+b≥ab+ab(a,b∈R)

22③a+b≥2(a-b-1)

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3+2.设x,y∈R，且xy-(x+y)＝1,则()

A.x+y≥2(2+1)B.xy≤+

12C.x+y≤(2+1)D.xy≥2(2+1)

11a23.设M＝a+(2

A.M>NB.M＝NC.M

1+

4.设a,b,c∈R，则3个数a+b,b+c,c+a()

A.都大于2B.都小于

2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2

5.为适应社会发展的需要，国家决定降低某种存款的利息，现有四种降息方案： 方案Ⅰ先降息p%，再降息q%(其中p、q>0且p≠q)方案Ⅱ先降息q%，后降息p%

pqpq

方案Ⅲ先降息2%，后降息2%

方案Ⅳ一次降息(p+q)%

在上述四种方案中，降息最少的是()

A.方案ⅠB.方案ⅡC.方案ⅢD.方案Ⅳ

二、填空题

x

6.实数y＝x-y，则x的取值范围是.ab

7.若a>b>c>1，p＝2(2-ab)

abc

3θ＝3(-abc)，则p与θ中的较小者是.11k

8.若a>b>c，则不等式ab+bc≥ac成立的最大的k值为.三、解答题

cab

39.已知：a≥0，b≥0，c≥0.求证：ab+bc+ca≥

2111111

110.证明：n1(1+3+„+2n1)>n(2+4+„+2n)(n≥2)

【素质优化训练】

一、选择题

11(x)6(x66)

11(x)3(x33)

xx，则()1.若x>0，f(x)＝

A.f(x)≥10B.f(x)≤2C.f(x)≥8D.f(x)≥6

+

2.设a,b,c∈R，P＝a+b-c，Q＝b+c-a，R＝c+a-b，则“PQR>0”是“P、Q、R”同时大于零的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件D.即不充分也不必要

+

3.已知a,b∈R，则下列各式中成立的是()

222a2b(a+b)

A.cosθ·lga+sinθ·lgblg

C.a

cos2

·b

sin2

＝a+bD.a

cos2

·b

sin2

>a+b

aaa

4.设a1>a2>a3>„>a2000>a2001，且m＝a1a2+a2a3+„+a2000a2001，n＝

4106

a1a2001，则m与n的大小关系是()

A.mnC.m≤nD.m≥n

5.连结直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点所得的两条线段长分别为sinα



和cosα(0

4A.B.C.3D.5二、填空题

n2

5m

16.已知m，n∈R，则3616-n+3(用“≥”或“≤”号连接).11

27.若x-1＝2(y-1)＝3(Z-2)，则S＝x+y+z的最小值为.6m

8.设三角形三边长为3，4，5，P是三角形内的一点，则P到达这个三角形三边距离乘积的最大值是.三、解答题

x2111

29.已知a∈(-1,1)，求证ax2xa的值不可能在a1与a1之间.10.已知二次函数y＝ax+2bx+c，其中a>b>c，且a+b+c＝0.(1)求证：此函数的图像与x轴交于相异的两个点.(2)设函数图像截x轴所得线段的长为l，求证：

2222

1.设m+n＝a,x+y＝b.(其中a、b是不相等的正整数)，则mx+ny的最大值是()

a2b2ababA.2B.abC.abD.2.已知0

b

a

a

b,log

1b

a的大小关系是.222

23.设x,y∈R，且x+y≤1，求证｜x+2xy-y｜≤2.+3

34.已知p,q∈R且p+q＝2,求证：p+q≤2.参考答案

A级

1.D 2.A 3.B 4.B 5.D

ama

6.［-2,2］ 7.ab>0且a≠b 8.bm>b

(ab)2ab[(ab)(a)]2(a)2

8a-(2-)＝28a9.证明：-＝

(ab)2ab)24a]

8a,∵a>b>0,∴ab

(ab)2ab

8a(ab)-4a0,8a>0,∴-(2-ab)

8a2-ab,∴原不等式成立.111

110.证明：假设三个式子同时大于4，即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4,三式相乘

1a1a132

2得：(1-a)a·(1-b)·b·(1-c)·c>4 ①，又因为0

同理0

盾，所以假设不成立，故原命题成立.AA级

1.C 2.A 3.A 4.D 5.C

6.(-∞，0)∪［4，+∞］ 7.P 8.4cababcabcabc

9.证明：∵ab+bc+ca＝ab+bc+ca-3＝

1111111

(a+b+c)(ab+bc+ca)-3＝2［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［ab+bc+ca］-3

33

(ab)(bc)(ca)

≥2·3cab3

ab+bc+ca≥2成立.11193



abbcca-3＝2-3＝2，即

111()

111111111n10.证明：∵2＝2，3>4，5>6，„„，2n1>2n,又2>，111111n1

将上述各式两边分别相加得1+3+5+„+2n1>(2+4+„+2n)·n，∴1111111n1(1+3+„+2n1)>n(2+4+„+2n)

【素质优化训练】

1.D 2.C 3.A 4.C 5.D

5916

6.≤ 7.14 8.1

5x21122

9.证明：设y＝ax2xa，则(ay-1)x+2yx+ay-1＝0，若y≠a，由x∈R，得△≥

0.即4y-4(ay-1)≥0，∴［(1-a)y+1］［(1+a)y-1］≥0，因a∈(-1,1)，所以1-a>0,1+a>0

11111111

且a1>a1，所以y≤a1或y≥a1，若y＝a，由a(a1, a1),原命题也

正确.综上所述，原命题成立.22

10.证明：(1)令ax+2bx+c＝0，则Δ＝4b-4ac，由a+b+c＝0且a>b>c，∴a>0,c0，即函数的图像与x轴交于相异的两点.(2)设函数图像截x轴于A、B两点，4b24(ac)24c2bcc22

a2其坐标为x1,x2，则x1+x2＝-a,x1x2＝a,∴l＝a-4·a＝-a＝4

ccc13bbc22

［(a)+a+1］＝4［(a+2)+4］，又a+b+c＝0且a>b>c,∴｜a｜

＝a＝-1-a∈(-2,0),∴3

补充题：

1.B2.logb>loga>log>log

2222

3.证明：设x＝rcosθ,y＝rsinθ，且｜r｜≤1,则｜x+2xy-y｜＝r｜cosθ+2cosθ

a

b

1a

b

1b

a



222

sinθ-sinθ｜＝r｜cos2θ+sin2θ｜＝2r｜sin(2θ+4)｜≤2

4.证明：假设p+q>2，则(p+q)>8,∴p+q+3pq+3pq>8，又p+q＝2,∴pq(p+q)>2＝p+q,2222

又p+q>0，∴pq>p-pq+q(p-q)