用放缩法证明不等式_不等式证明之放缩法

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用放缩法证明不等式

蒋文利飞翔的青蛙

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一.“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜4。

3证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋

＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜

例2.已知a、b、c不全为零，求证：

a2abb2b2bcc2c2aca2＞3（abc）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。3

3证明：因为a2abb2

同理b2bcc2＞bc，2（ab23）b2＞42（ab2）2abb≥a，22c2aca2＞ca。

23（abc）2所以a2abb2

二.分式放缩 b2bcc2c2aca2＞

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜abc＋＋＜2。bcacab

证明：由于a、b、c为正数，所以baab＞＞，bcabcacabc

cc

＞ababc，所以

abcabc

＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c为三角形的bcaca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cab

边，故b+c＞a，则

c2c，＜

ababc

a2a2b

为真分数，则a＜，同理b＜，bcabcacabcbc

故

abc2a2b2c

＋＋＜＋＋2.bcacabcabcabcab

abc

＋＋＜2。bcacab

综合得1＜

三.裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求1

1n

„

1n

2n

n



„

1n

＜2n。

证明：因为＜

nn13

2（nn1），则1

＜12（21）2（2）„2（nn1）2n1＜2n，证毕。

例

n(n1)2

5.an

已知

(n1)2

nN

*

且

an

223n(n1)，求证：

对所有正整数n都成立。

n

证明：因为n(n1)又n(n1)

122

n，所以an12n

n(n1)，n(n1)

232，n(n1)

2n12

(n1)

所以an立。

，综合知结论成四.公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6.已知函数f(x)证明：由题意知

f(n)

nn1

2121

nn

2121

x

x，证明：对于nN*且n3都有f(n)

nn1。



nn1

(1

221

n)(1

1n1)

1n1



221

n



2(2n1)(n1)(21)

n

n

又因为nN*且n3，所以只须证2n2n1，又因为，n

(11)

n

Cn

CnCn

Cn

n1

Cn

n

1n

n(n1)

n12n1

所

以f(n)

nn1。

例7.已知f(x)x2，求证：当ab时f（a）f（b）ab。证

f（a）f（b）

1a2

b2

明

a2b2a

：



b



ababa

b2

1



ababab



(ab)ab

ab

ab证毕。

五.换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8.已知abc，求证

1ab



1bc



1ca

0。

证明：因为abc，所以可设act，bcu(tu0)，所以tu0则

1ab



1bc



1ca



1tu

1u1t1u1ttutu

0，即

1ab



1bc



1ca

0。

例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2b2c2，当nN*且n3时，求证：anbncn。

证明：由于a2b2c2，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为0sina1，0cosa1，则当n3时，sinnasin2a，cosnacos2a，所以anbncn(sinnacosna)cn(sin2acos2a)cn。

六.单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证

x1x

ab1ab



a1a



b1b。

证明：构造函数f(x)

f(x1)f(x2)

x11x1



(x0)，首先判断其单调性，设0x1x2，因为

x21x2



x1x2(1x1)(1x2)

0，所以fx1fx2，所以f(x)在[0,]上是增函数，取x1ab，x2ab，显然满足0x1x2，所以f(ab)f(|a||b|)，即

|ab|1|ab|



|a||b|1|a||b|



|a|1|a||b|



|b|1|a||b|



|a|1|a|



|b|1|b|

。证毕。