证明不等式的基本方法_不等式证明的基本方法

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证明不等式的基本方法

一、比较法

(1)作差比较法

3322【例1】已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab

【1-1】 已知ab，求证：a3b3ab(ab)

【1-2】已知ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)

(2)作商比较法

abba【例2】已知a,b都是正数，求证：abab，当且仅当ab时，等号成立.【2-1】已知a,b,c都是正数，求证：abc

二、综合法与分析法

(1)综合法

【例3】已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc

【3-1】已知a1,a2,...,anR，且a1a2...an1, 求证：(1a1)(1a2)...(1an)21 n2222222a2b2cabcbaccab.【3-2】已知a,b,cR，用综合法证明：

(1)(abab1)(abacbcc2)16abc；(2)2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)

(2)分析法

【例4】设x0,y0，且xy1.求证：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正数.求证：

三、反证法与放缩法(1)反证法

【例5】已知x,y0,，且xy2,，试证：

【5-1】设0a,b,c1，证明：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于

18 xyxy

bcacababc abc

1x1y,中至少有一个小于2.yx

(2)放缩法

【例6】用放缩法证明不等式 ：

【6-1】用放缩法证明不等式 ：

【6-2】用放缩法证明不等式 ：

1)1

1111...1(m1,mN*)2m1m22m

11111n122...2(n2,3,4,...)2n123nn

...nN*(n1)

2(nN*)【6-3】用放缩法证明不等式 ：

...2

四、数学归纳法

11S(a).【例7】在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足nn

2an

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

【7-1】.已知数列{an}前n项和为Snan()

n1

2(nN*).(1)令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)设cn

【7-1】已知各项为正数的数列{an}满足an12ananan1，a2a42a34.n15n

an，且{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明.n2n1

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bnan2，设数列{bn}的前n项和为Tn，试比较并予以证明.Tn1122log2bn12

与的大小，2log2bn14Tn