不等式证明四(换元法)_用换元法证明不等式

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Xupeisen110高中数学

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。

过程：

一、提出课题：（换元法）

二、三角换元：

证一：证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x

则2sin,2ycos2 11212(1cot2)(1tan2)22xysincos

3(2cot2tan2)32

2例三：若x2y21，求证：|x22xyy2|2

证：设xrsin,yrcos,(0r1)，1则|x22xyy2||r2cos22r2cossinr2sin2|

r2|cos2sin2|2r2cos22r22 4

例四：若x > 1，y > 1，求证：xy1(x1)(y1)

证：设xsec2,ysec2,(0,)2)2

小结 若x2y21，则可令x = sec, y = tan(02)。

)。2

若xR，则可令x = tan()。22若x≥1，则可令x = sec(0

三、代数换元：

例六：证明：若a > 0，则a2112a2 2aa

1证：设xa,aya2

21,(a0,x2,y2)2a2121则x2y2aa22 aa

xya11a2222（当a = 1时取“=”）

aa

四、小结：

五、作业：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3