外拿破仑三角形的证明_拿破仑三角形证明

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外拿破仑三角形的证明

设△ABC，它向外作的正三角形中心分别为D、E、F

设BC=根号3a,AC=根号3b,AB=根号3c

则AD=BD=c,AE=CE=b,BF=CF=a

易证∠DAE=60+∠BAC

cos∠DAE=cos(60+∠BAC)=cos60*cos∠BAC-sin60*sin∠BAC

cos∠BAC=(b^2+c^2-a^2)/2bc,sin∠BAC=根号3a/2R(R为△ABC外接圆的半径)cos∠DAE=(b^2+c^2-a^2)/4bc-3a/4R

由余弦定理得

DE^2=AD^2+AE^2-2cos∠DAE*AD*AE

=b^2+c^2-(b^2+c^2-a^2)/2+3abc/2R

=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R

同理可得DF^2=EF^2=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R

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