线面垂直的证明中的找线技巧_线面垂直证明技巧

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线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1如图1，在正方体ABCDA1BC11D1中，AO平面MBD．

1A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1

32322

2设正方体棱长为a，则A1Oa，MOa．

2492222

AMa．∵AO在Rt△AC中，∴AOMOMMO2AM111111

4∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

证明：连结MO，

． ∵OM

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC平面PBC，∴

AD⊥

BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

判定性质

判定性质

线面垂直面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明

问题．下面举例说明．

3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过

A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA

平面ABCD，∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAEAE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．

．∵SC平面AEFG，∴SCAE

．∴

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC

∵

BC，∴CFAB．

ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD

平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5如图３，PBC． ∵PA

AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC∴PA

BC．

平面ABC，BC平面ABC，BC．∴BC平面APC．

∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

即证线面垂直，而证线面垂直则需从

D证明：过A作AO⊥平面BCD于O

ABCD，CDBO 同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心7.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

于是BDCOBDAC

A

C

证明：连结AC

BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

8.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

C

EN//

.证：取PD中点E，则

DC

2C

EN

AE/

//AM

/MN

9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

分析：

A'C

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

D

解： G∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG EAB∴A'E⊥BC

F设A'E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

222

A'D=A'E+ED-2•A'E•EDcos60°

=3a

222

∴ED=A'D+A'E∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明:

①∵SA平面ABC∴SABC又∵BCAB, 且ABSA = A∴BC平面SAB∵AN平面SAB∴ANBC②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B∴AN平面SBC∵SCC平面SBC∴ANSC又∵AMSC, 且AMAN = A∴SC平面ANM

11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC 分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可 证明：取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形

同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=a

BC=

CDAE

又CDAD

CD平面PADCD//ABMNAB

PA平面AC

AE平面PADAE//MN

2a∴PD=

a在ΔABC中AD=

AB2BD2

=

222

a∵AD+PD=aa22

=a=AP∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC 12.如图，直角BAC在证：如图所示，AABAC为射影

AA//BB

AB

面AACAAAB

AB13 以ABAB

ABAB//AB

ABAAAB//

直。

解：

PABCAB面AEF