用向量方法证明空间中的平行与垂直_空间向量证明平行

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用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(C)

A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥α

C．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；

③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB

标是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选C.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，则实数x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知BPAB

→·→＝3x－1＋y－3z＝0BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE

.证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4, 0,3)．由题意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因为OB

设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，→n·OB＝0x＝0则，即，→＝0－4y＋3z＝0OEn·

取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE

.9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

(1)求证：PB∥平面EFH；

(2)求证：PD⊥平面AHF

.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因为PB

→＝2EH→，所以PB

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因为PD

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.