用向量法证明直线与直线平行_用向量法证明平行关系

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用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行导学案

一、知识梳理



1、设直线l1和l2的方向向量分别是为v1和v2，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2。

2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量v1、v2与平面a共面（图（2）），一条直线l的一个方向向量为v1，则由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使

v1＝xv1＋yv2。

3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量v1、v2与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a∥或a与重合v1∥且v2∥

4、点M在平面ABC内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分

必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式AMxAByAC成立。

对于空间任意一点O，由上式可得OM(1xy)OAxOByOC，这也是点M位于平

面ABC面内的充要条件。

知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。

（2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。

例1：如图3－28，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N

分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。

求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN＝

[例2] 在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS 12BD。

在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.例3] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.变式应用

3如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.求证：MN∥平面BCE.堂巩固训练

→＝AB→，则点B应为1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，则C的坐标是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，则λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.