证明垂直位置关系_垂直关系的证明

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第五课时学案垂直的证明方法

命题预测

从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质等是高考的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质；主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象、逻辑推理以及分析问题、解决问题的能力．

预测2013年高考仍将以线面垂直、面面垂直为主要考查点，重点考查学生的空间想象以及逻辑推理能力．

考点1 直线与平面垂直的判定与性质

例

1、（08天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．（Ⅰ）证明AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角PBDA的大小．

变式1：如图，已知三棱锥A－BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)MD∥平面APC；(2)BC⊥平面APC.变式2：（12全国理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.变式3：（06福建）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD

（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。

B

E

变式4：（11大纲理）如图，四棱锥SABCD中，ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

例

2、（08二）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上

AC

1且C1E3EC．（Ⅰ）证明：A1C平面BED；（Ⅱ）求二面角A1DEB的大小．EC

例

3、（04湖北）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的大小。

例

4、（12北京理）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.(I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

考点2 平面与平面垂直的判定与性质

例

1、(2011〃高考江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD

变式1：如图，在直三棱柱:ABC－A1B1C1中,AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)求证：平面A1BD⊥平面ACC1A1；(3)求三棱锥A－A1BD的体积．

变式2：（08湖南）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.变式3：（09北京）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（Ⅱ）当PD

且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.变式4：（05）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=

2AB=1，M是PB的中点。

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

例

2、（12高考江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点． 求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F//平面ADE．

变式：（11辽宁理）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=2PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

例

3、如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．