高二数学《推理与证明》复习题及答案_高二数学推理与证明

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英德市第一中学2010――2011学年第二学期高一中段考试数学试卷

高二文数1-2《推理证明》期末复习题

（二）一、基础巩固

1、若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca． 证明过程如下：

∵a，b，cR，∴a2b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2a2≥2ac，2、立体几何平行、垂直定理：

（1）线面平行的判定定理：a,b,a//ba//

线面平行的性质定理：a//,a,ba//b

（2）面面平行的判定定理：a,b,abP,a//,b////

面面平行的性质定理：//,a,ba//b（3）线面垂直的判定定理：a,b,ab

线面垂直的性质定理：a（4）面面垂直的判定定理：l

又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，∴将以上三式相加得

2(abc)2(abbcac)，∴abcabbcca．此证法是（）

P,la,lbl

222

,ba//b

Ａ、分析法

2Ｂ、综合法

Ｃ、分析法与综合法并用Ｄ、反证法

1

,l

证明：要证

1



1，面面垂直的性质定理：,l,a,all

3、反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错

即证7511

1以上证明应用了（）

A、分析法B、综合法，∵3511，∴原不等式成立．

误,从而证明原命题成立,反证法的思维方法：正难则反

归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾（2）与已有公理、定理、定义矛盾（3）自相矛盾

三、典型例题

例

1、

证明：



只需证2

2只需证87510



只需证22即证56505650显然成立



C、分析法与综合法配合使用D、间接证法

3、用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”下列条件假设中正确的是（A.假设a,b,c都是偶数）

B、假设a,b,c都不是偶数

D.假设a,b,c中至多有两个偶数

C.假设a,b,c中至多有一个偶数

4、求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三

角形的”．

二、知识点归纳

1、分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分

条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。

这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等 特点：执果索因，即：要证结果Q，只需证条件P

例

2、(2010执信中学2月考试文科18)

右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD2EC，（1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB

证明：（1）∵EC//PD，PD平面PDA，EC平面PDA

∴EC//平面PDA,同理可得BC//平面PDA

∵EC平面EBC,BC平面EBC且ECBCC∴平面BEC//平面PDA又

∵BE平面EBC∴BE//平面PDA（2）连结AC与BD交于点F, 连结NF，∵四边形ABCD为正方形

∴F为BD的中点， N

∴NF//PD且NF12PD, D

C

又EC//PD且EC

2PD

F

∴NF//EC且NFEC

A

∴四边形NFCE为平行四边形 ∴NE//FC

∵,PD平面ABCD,AC面ABCD∴ACPD，又∴PDBDD,PD,BD平面PBD ∴AC面PBD∴NE面PDB

变式训练2：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC 1∥平面CDB1.例

3、设a，b，c(0,)，求证：a+

11b,c+a,b+

1c

中，至少有一个不于小2 证明：假设a+

11111b,c+a,b+c都小于2，即a+b2,c+a2,b+1

c2 (a+1b)+(c+1a)+(b+1c

6

a，b，c(0,)，(a+1b)+(c+1a)+(b+1c)(a1a)(b1b)(c1

c)

2226与假设相矛盾

假设不成立，即a+

1b,c+1a,b+1

c

中，至少有一个不于小2。

变式训练3：已知a,b,c均为实数，且ax22y

cz22x

,by22z

，

6求证：a,b,c中至少有一个大于0。

四、课后练习

1、下列说法不正确的是（）

A、综合法是由因导果的顺推证法B、分析法是执果索因的逆推证法 C、综合法与分析法都是直接证法

D、综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）

A、将结论与条件同时否定，推出矛盾B、肯定条件，否定结论，推出矛盾 C、将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用

D、将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

3、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为__________．

4、已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc5、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD6、当a≥2时，求证＋1－a

41高二文数1-2《推理证明》期末复习题参考答案

一、基础巩固：

1、B2、A3、B

4∵4240显然成立,∴原不等式成立.5、证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc,因为c2a22ac,b0,所以b(c2a2)2abc.因此, a(b2c2)b(c2a2)4abc

变式训练2：证明：（1）ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面B CC1 B1∴CC1⊥AC

∵三角形ABC三边长 AC=3，BC=4，AB=5，AB2AC2BC2 ∴ACB90，即AC⊥BC

又CC1BCC，CC1，BC平面BCC1B1AC平面BCC1B1ACBC16、证明：要证＋1－a

只需证a＋1＋a－2＋2(a＋1)(a－2)

只需证(a＋1)(a－2)

（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵四边形B CC1 B1是平行四边形∴E是BC1的中点，∵ D是AB的中点，∴DE//AC1，又DE  平面CDB1，AC1平面CDB

4，(1b)c

14，(1c)a

14，DE//AC1 ∴

三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c

变式训练3：证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，164

．①

而abc(x1)2(y1)2(z1)2330，即abc0，与abc0矛盾。a,b,c中至少有一个大于0。

111aa1(1a)a≤(1c)c≤又，同理可得：(1b)b≤，． 

2444

所以(1a)a(1b)b(1c)c≤

164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．

四、课后练习：

1、D2、B3、_③①②_

4、（如下）