《计量经济学》课程中有关的证明过程_计量经济学中相关证明

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有关的证明过程

1． 线性特性

xiyixi(YiY)ˆ222xx

ii

Y2ixixiYxi2xiKiYi

ˆ1Yˆ2XYXKiYi 11YiKiXYiKiXYinn

2． 无偏性

ˆ2KiYiKi(12Xiui)Ki1Ki2XiKiui 1Ki2KiXiKiui

xi（XiX)0Ki222xixixi其中：

xi(XiXX)KiXi2Xi2xixi

xixixi(XiX)xiX2x

ixi2Xxi

xi211xi

xi2ˆ22Kiui 故有：ˆ2E(2Kiui)2KiEui2 E1ˆ1KiXYin

1KiX12Xiuin

1n2Xinuin

1KiX2KiXXiKiXui

12Xu1XKi2XKiXiXKiui

11(XKi)ui

n1ˆE11(KiX)Eui1 n3． 有效性 首先讨论参数估计量的方差。

ˆ2)E(ˆ2E(ˆ2))2 Var(ˆ)2E((E(222Kiui2(K1u1K2u2Knun)(K1u1K2u2Knun)Kiui)2)E(2Kiui)2(Kiui)2KiKjuiujij

E(Kiui)2E(K2iui)EKiKjuiujij

K2i2Eui22xi2xi2xi2 2Var(即：ˆ

2)xi2

同理有：

Var(ˆ)2Xi21nxi2

Var(ˆ1)E(ˆ1E(ˆ1))2E(1nKiXui)2

221nKiXui1nKiX2ui

ˆ1)2Var(211KiXKjXuiujnnij

1KXin

2KiX(22Ki2X2)n n1

Ki222Xnn22Ki2X2

n2(Xi)2n2xi2

2n22n(x)(X)2iixi2

n(2Xi2nX)n221n(Xi)2xi2

2nxi2

Xi2显然各自的标准误差为：

ˆ)se(2ˆ)se(1xi2，nxi2

Xi2标准差的作用：衡量估计值的精度。由于σ为总体方差，也需要用样本进行估计。

ˆ2ei2n2

证明过程如下：

回顾:Yi12Xiui

因此有： Y12Xu

那么：(YiY)yi(12Xiui)(12Xu)

2xi(uiu)

ˆ2xi，根据定义：eiyi（实际观测值与样本回归线的差值）则有：

ˆ2xi(uiu)(ˆ22)xi ei(2xi(uiu))两边平方，再求和：

ei2(uiu)2ˆ22)xi2(uiu)(ˆ22)xi)2((

ˆ22)2(xi2ˆ22)(uiu)22((uiu)xi

对上式两边取期望有：

E(ei2)ˆ2)2xi2E(2

E(ˆ22(uiu)2)2E(uiu)xi

ABC

A其中：xi22xi222

2BE2ui2nEunnE2(n1ui)

1nE(nui2uiuj)ij1n2(n2)(n1)2

nC2Exiuiuxuxi2iixi

2Exiui2xixi22ˆ22)22E(xi2

22xi2

22

故有：Eei2(n1)2 2Eei2即有：n2，i2令ˆ2en2，则问题得证。

关于ei2的计算：

ei2yi2ˆ22xi2yi2ˆ2xiyi

关于R2R2的证明：

R211R2n1nk1a1R2，其中：当 k1a1

R211R2n1n111R2R2 当k1a1，当0R21时，有：

R2R2R211R2a

R21aaR2

a1R2a1 a11R20

a1。

R2R2

Q.E.D.关于R2可能小于0的证明。设：Yt2Xtut 则有：

Jmine2tminˆ2ˆ2J0ˆ2那么 

2ˆYt2Xt

ˆ2XtXtXtet0

2YtJ0ˆ1但：et0，因为没有存在。

同时，还有：

ˆ2Xe

Yˆ2XtYet

YtYˆ2Xtˆ2Xeet ˆ2XtXete TSS222YYYnYtt

2ˆ2XtXete





2ˆXX2ˆee22XtXete 2tt其中：

XtXeteXteteXete

XteteXt0

n1eeeneentttet0，和

Xtet0

XtXetenXe

则：

222ˆ2ˆ2nXe TSSXXee2tt222222ˆˆˆ2nXe XnXene2t

2t2222222ˆˆˆXene2nXent

2t22X 222222ˆ2ˆˆXenX2Xeett 22考虑到：

222ˆˆ2ˆ2Xee2 nYn2XenX222222ˆˆˆYXeX2Xeet2tt2ttt 2t2222ˆXet

2t 若定义

TSS2ˆ2Yt2nY2Xt222ˆ2ˆ2Xee2et2nX2

2ˆ2RSSTSSXt2

et2

222ˆ2ˆ2Xee2ˆ2RSSTSSnX2Xt2

21ˆn2n

22ˆXeeˆ2Xt2222Xt2

ˆ2n2XtˆXee2ˆ2n222Xt2

ˆ2n2Xt2tsˆXee2ˆ2XtXsn222Xt2

ˆ2n12ˆ2Xt2n2tsˆXee2XtXsn22 可能小于0。参考书：

Dennis J.Aigner Basic Econometrics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.1971,pp85-88