高考数学题分类(20)选修41：几何证明选讲_高考数学几何证明选讲

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2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编

第20部分:选修系列---（选修4-1：几何证明选讲）

一、填空题：

1．(2010年高考天津卷理科14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB1PC1BC，，则的值为。PA2PD3AD

【解析】因为ABCD四点共圆，所以∠DAB∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以PBC∽PAB，所以

PBPCBCBCxxy，设PC=x，PB=y，则有，即x，所以= AD3y

PDPAAD3y2x26

【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。

2.(2010年高考湖南卷理科10)如图1所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到O的切线长PT ＝4，则弦AB的长为________.【答案】6 【解析】根据切线长定理

2PT2PAPB,PBPT168 PA2图所以ABPBPA826

【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。

3．（2010年高考广东卷理科14）（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=

【答案】2a，∠OAP=30°，则CP＝______.39a 8

【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OPAB.在Rt

OPA中，BPAPacos30.由相交线定理知，BPAPCP

DP92CPa，所以CPa． 8

34．（2010年高考陕西卷理科15）(几何证明选做题)如图,已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则

1BD__________.DA

B C

2【解析】（方法一）∵易知AB32425，又由切割线定理得BCBDAB，∴

42BD5BD16.5169BD16516.故所求.55DA599

2于是，DAABBD5（方法二）连CD，∵易知CD是RtABC斜边上的高，∴由射影定理得BCBDAB，BDBDABBC242162.ACDAAB.故所求2DADAABAC932

【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综合，要注意有关定理的灵活运用.【考点分类】第十六章选考系列.5．（2010年高考北京卷理科12）如图，O的弦ED，CB的延长线交

于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝；CE

＝。

【答案】

5;解析：首先由割线定理不难知道ABACADAE，于是AE8,DE5，又BDAE，故

222BE为直径，因此C90，由勾股定理可知CEAEAC

28，故CE.二、解答题：

1．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交

AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

2.(2010年全国高考宁夏卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；

2（Ⅱ）BC=BF×CD。，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：

（22）解：

,（I）因为ACBC所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.（II）因为ECBCDB,EBCBCD, 所以BDC∽ECB，故BCCD，BEBC

即BCBECD.2