勾股定理证明 中外方法鉴赏_勾股定理简洁证明方法

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勾股定理证明

勾股定理是几何中一个非常重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中我国古代的平民数学家赵爽的证法与美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

一、“弦图”证法

赵爽又名婴，字君卿，三国时吴国人．由于史书上没有他的传记，所以他的生卒年代和生平事迹已不可详考了．他在读了《周髀算经》后，深为此书的数学内容所折服，又恐怕后人不能彻底理解其中的深奥道理，于是就动手对它作了全面的注释和阐述．其中给出的《勾股圆方图》和《勾股圆方图注》，便是对勾股定理的一个严格而又巧妙的证明．

《勾股圆方图注》一开首就说：“勾股各自乘，并之

为弦实．开方除之，即弦．”这实际上给出了如下的两个

公式：

（1）勾×勾＋股×股＝弦×弦(a2＋b2＝c2)；

（2）弦＝勾2股2（c＝a2b2）；

接着，赵爽用一个“弦图”(见右图)对以上公式进行了证明。

整体看：四边形ABDE是一个 以直角三角形的弦（c）为边长的正方形，其面积为c2；

局部看：四边形ABDE是由四个直角三角形和一个正方形构成，其面积可

1表示为4×ab＋(b－a)2.21因此4× ab＋(b－a)2＝c2，化简便得：a2＋b2＝c2。

2二、总统证法

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，由于好奇，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了．

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．

11他是这样分析的，整体看：梯形ABCD的面积＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋2

21212b)＝a＋ab＋ b； 222

局部看：梯形ABCD的面积＝△AED的面积＋△BEC

1112的面积＋△DEC的面积＝ab＋ ab＋ c.222

比较上面两式便可得到 a＋b＝c.1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》

上发表了他对勾股定理的这一证法．

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。222b