必修2 立体几何证明题 详解_必修2立体几何证明

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必修2 证明题

一．解答题（共3小题）

1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．

考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。

分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定

定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD

交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；

（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是

二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面

角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．

解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC

又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB

连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB

∴PB∥平面AEC

（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD

同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．

又

FO=AB=PA=EF

∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

考点：三垂线定理。

专题：作图题；证明题。

分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．

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必修2 证明题

在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．

3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．

（I）求证：A1C⊥BD；

（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．

考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。

专题：计算题；证明题；综合题。

分析：（I）连AC，要证A1C⊥BD，只需证明AC⊥BD，说明AC是A1C在平面ABCD

上的射影即可；

（II）说明∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，解三角形A1CB1，求

直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）找出∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角，通过角三角形求二面角B1﹣CD

﹣B的正切值．

解答：解：（I）连AC，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD

又侧棱AA1⊥平面ABCD

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影

∴A1C⊥BD（三垂线定理）；（4分）

（II）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影

∴∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，（6分）

在直角三角形A1CB1，A1B1⊥B1C，A1B1=2，∴；（9分）

（III）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C

∴CD⊥B1C，CD⊥BC

∴∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角，（11分）

∴

二面角B1﹣CD﹣B的正切值为．

点评：本题考查三垂线定理，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

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