用反证法证明（精选5篇）_反证法证明

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用反证法证明（精选5篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“反证法证明”。

第1篇：用反证法证明不等式

用反证法证明不等式

一、反证法的含义

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”这种证明的方法，叫做反证法．

二、反证法的严密性

数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．

既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的．

三、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1、假设命题的结论不成立；

2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．

四、反证法的分类

反证法中有归谬法和穷举法两种．

原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法．

五、反证法中常见的矛盾形式

（1）与已知条件即题设矛盾；

（2）与假设即反设矛盾；

（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`

（4）自相矛盾．

六、反证法的适用范围

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；

（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

（6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理．

总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．

反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．

七、用反证法证明不等式举例

例已知、、，且

.求证：、、中至少有一个是负数.选题意图：本题考查利用反证法证明不等式.证明：假设、、都是非负数，∵

∴

又

∴

这与已知

.矛盾.，.∴、、中至少有一个是负数.

第2篇：用反证法证明几何问题

65yttrgoi用反证法证明几何专题

对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。一、反证法的概念：

（又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。二、反证法的基本思路：

首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。三、反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；

(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

归缪法穷举法

四、适用范围

“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。五、反证法在平面几何中的应用

例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。

（1）

证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

∵OA＝OB，M是AB中点

∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）

同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。例2（穷举法）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

假设如图，在△ABC，∠ABC=d,M是AB的中点。

求证 CM=AM=BM 证明：CM与AM的大小关系有穷举而互斥的三种：CM>AM ,CMAM，则CM>BM.于是，由△ACM和△BCM得

∠A >∠ACM,∠B >∠BCM 相加的∠A +∠B >∠C,即2d-∠C >∠C,或∠Cd,也与假设矛盾.结论反面的这两款都不成立，所以结论成立；

CM=AB.证毕

例3、已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝证明：假设AD

（AD＋BC）。求证：AD∥BC

CBMADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中 ∵BM＝MA，BP＝PD ∴MP

AD，同理可证PN

BC 从而MP＋PN＝（AD＋BC）①

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD共线。从而MP＋PN＞MN ② 由①、②得

（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝

(2)BC矛盾，于是M、P、N三点不

（AD＋BC）相矛盾，故假设ADBC不成立，所以AD∥BC。

例4.求证六边形都等于1的凸六边形至少有一条对角线的长不大于

3。, 证明：假设存在一个边长为1的凸六边形ABCDEF，其中每一条对角线之长均大于

E 如图：作 BMAC

ABBC1,AC3FDSinABM

则 ABM120 ABM60,32AMC1206 那么六边形的内角和大于

720

这与六边形的内角和等于 °矛盾所以命题成立。

例5 求证：凸多边形的锐角不能多于三个。

证明：凸多边形有一个特点，内角和=（总内角和–2）×180°

720B 假设内角数为n，其中锐角数为4，钝角数为n-4，则有内角和=180°×(n-2)=锐角和+钝角和即180°×（n-2）

即180°×（n-4）

注意到(n-4)为钝角数，所以钝角和应该小于180°×（n-4），与上式矛盾，故不成立。

对于锐角数大于4的情况，同理可证。

例6 求证：直线与圆最多只有两个交点。

证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，M、N分别是弦AB、BC的中点。

∵OA＝OB＝OC ∴在等腰△OAB和△OBC中 OM⊥AB，ON⊥BC 从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

因此直线与圆最多只有两个交点。

五、在立体几何中的应用例7 证明两条直线是异面直线

求证：分别和两条异面直线AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。

证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α，由知，故。这与AB和CD是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC和BD是异面直线。课后作业

1．求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。

2．在△ABC中，AB＝AC，P是内部一点且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。

参考答案：

1．证明：假设存在凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。

则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°。

这与四边形ABCD中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°矛盾。

故假设不能成立，所以原命题成立

2．证明：假设PB

PC，即PB＞PC或PB＝PC(1)当PB＞PC时（如图）在△PBC中，可得＜PCB＞∠PBC ∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB，从而∠ABP＞∠ACP ① 在△BAP与△CAP中 ∵AB＝AC，AP＝AP，PB＞PC ∴∠BAP＞∠CAP ②

由①②和三角形内角和定理，可得∠APB＜∠APC，这与已知∠APB＞∠APC相矛盾。(2)当PB＝PC时，在△APB与△APC中 ∵AP＝AP，BP＝CP，AB＝AC ∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC 这与已知∠APB＞∠APC相矛盾，由(1)(2)可知假设PBPC不成立。故PB＞PC。

第3篇：宜用反证法证明的命题精品文档

宜用反证法证明的命题

Ⅰ.关于否定性的命题

当命题中含有“不存在”、“不可能”之类的否定性结论时，命题可采用反证法.例1：圆内非直径的两弦相交不能互相平分.已知：弦AB、CD相交于P.求证：AB、CD不能互相平分.分析：这个命题的结论是否定的，是“不能互相平分”，它的反面是“能互相平分”.结论的反面比结论本身易证，可用反证法.证明：假设AB、CD互相平分.∵AB、CD不是直径，∴点P与O不重合.连接OP，∵AP=PB，∴OP⊥AB.同理可证OP⊥CD.这就是说，过点P有两条直线AB、CD都垂直于OP，这与“过一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.∴ AB、CD不能互相平分.Ⅱ.某些唯一性的命题

命题中含有“唯一存在”、“只有一个”之类的结论，宜用反证法.例2：求证两直线相交，只有一个交点.已知：直线a和b交于点O.求证：直线a和b只有一个交点O.证明：假设直线a和b相交不只有一个交点O，那么a和b至少有两个交点O、P.这时，直线a是由O、P两点确定的直线，直线b也是由O、P两点确定的直线.这样，由O、P两点就确定了两条直线.这与公理“两点只能确定一条直线”相矛盾.∴两条直线相交，只有一个交点.Ⅲ.关于“最多”、“最少”之类结论的命题

例3：求证三角形的内角中，最多只能有一个钝角.已知：任意一个三角形.求证：三个内角中，最多只能有一个钝角.证明：假设还有一个内角是钝角，则这两个内角和大于180°，这与“三角形内角和定理”相矛盾.∴三角形的内角中，最多只能有一个钝角.Ⅳ.难于直接使用已知条件导出结论的命题

例4：一个三角形中有两个角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.已知：△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线.且BE=CF.求证：△ABC是等腰三角形.证明：假设AB>AC，则∠ACB>∠ABC.于是∠BCF>∠CBE.在△BCF和△CBE中，BC= BC，BE=CF,∠BCF>∠CBE，∴ BF >CE.(1)

作平行四边形BEGF，则∠1=∠FBE=∠CBE∠3，∴CE>GE，即BFAC不成立.同理，可证AB ∴只有AB=AC.Ⅴ.某些起始命题

在各个数学分支中，按照公理化方法，最初建立的仅是数量不多的定义和公理.因此，对于证明某些起始性质或定理的预备知识不够.直接证明有困难，宜用反证法.例5：切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.已知：直线AT是⊙O的切线，A为切点.求证：AT⊥OA.分析：到学切线性质为止，关于切线的知识仅知道两条：①切线和圆有且只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于半径.没有更多的定理可作论证依据，此时，可用反证法.证明：假设AT与OA不垂直.过O作OM⊥AT，交AT于M.由垂线段最短，得OM