证明举例（精选4篇）_证明举例一

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第1篇：初二数学《证明举例》

初二数学《证明举例》

课题：22.4证明举例（4）

一、教案设计思考与亮点

教案设计思考：本节内容为证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，教案的设计力求通过师生生动活泼的问题研究，不生搬硬套固定的解题模式，让学生亲身经历问题的解决与创设过程。教学中，随着问题的提出、分析和解决，构建积极进取的学习氛围，整个一堂课，始终是在师生的默契配合下进行，师生思维协调同步，处于“共鸣”状态，从而大大提高了课堂教学质效。

教案设计亮点：

1、教学过程中，设计了开放性问题，既可以消除学生“模仿例题”的习惯，又可以克服学生被动学习的弊端，有利于培养学生个性，发挥每个学生的聪明才智，更好地培养他们的思维品质。

2、教学过程中，设计了对例题的简单变式训练，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。

二、教学目标：

1、知识目标：（1）尝试命题教学，学生掌握文字命题的证明步骤。

（2）会用二次三角形全等证明几何问题。

2、能力目标：（1）了解猜想证明与反驳、优化的数学思想方法。

（2）经历了命题的证明过程，学生逐步学会分别从题设和结论

出发，寻求论证思路的综合分析方法。

3、情感目标：注重对学生思维品质的培养，鼓励学生进行有效的合作学习。

三、教学重、难点：重点：用二次三角形全等进行几何证明。

难点：举出反例说明一个命题是假命题。

四、教学过程：

今天这一节课，我们继续来学习几何证明。（写课题）

一、文字命题证明

请同学们看这样一道例题：

例7：求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。

（一）提问：

1、文字命题的证明有哪些步骤？

2、这个命题的题设与结论分别是什么？

（二）学生动手操作：

完成画图，写已知和求证。

（学生完成，教师巡视，并抽一份点评，尽量让学生自己发现问题并

解决和完善）AA’

’

DD’

已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,BC= B’C’,AD、A’D’分别是

BC和B’C’边上的中线，AD＝A’D’。

求证：△ABC≌△A’B’C’

[归纳小结]

对于文字命题，我们先要读懂题意，正确理解其中的内涵，再着手

解题。

（三）讨论与分析：

我们如何来证明△ABC≌△A’B’C’，用什么方法？同学投入讨论。

（学生思考并讨论，互相启发，自我教育，然后小组选代表汇报解题思路。）追问学生：

1、你怎么想到证∠B＝∠B’？

2、如何证得BD’=B’D’？

你们能自己完成这道题的证明了吗？

（四）独立书写证明过程：

证明：∵AD、A’D’分别是BC和B’C’边上的中线（已知）

∴BD=

1212BC，B’C’＝B’C’（三角形中线定义）

又∵BC= B’C’（已知）

∴BD= B’D’（等式性质）

在△ABC和△A’B’C’中

’D’（已知）

’B’（已知）

AD＝A’D’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S • S • S）

∴∠B＝∠B’（全等三角形对应角相等）

在△ABC和△A’B’C’中

’B’（已知）

∠B＝∠B’（已证）

BC= B’C’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S • A • S）

（可能还有学生通过证AC= A’C’，从而得到△ABC≌△A’B’C’。此时教

师均给予肯定，然后指出在具体解决问题的过程中，要善于选择简捷的方法，培养学生优选的数学思想。）

（五）[归纳小结]

在这个命题的证明过程中，有两次证明三角形全等，其中第一次证

明所得的两角相等，成为第二次证明三角形全等的条件，这种将上一步推理所得的结论作为下一步推理条件的情况，在证明过程中常常会遇到。

二、变式训练

（一）完成了上述命题的证明：若将其中“一边上的中线”改成“一边上的高”，命题是否成立？

（学生独立思考，并请一位同学上黑板画图）

估计学生回答此命题仍成立，请学生说明理由。

老师问还有没有其它意见？

若学生没有意见，教师进行反驳，将学生所画的图作如下改变：

’（通过老师画图操作，学生观察分析，从而获得直观的认识）然后提问：

1、观察△ABC≌△A’B’C’中条件是否符合题意？

2、此时，△ABC≌△A’B’C’吗？为什么？

3、老师是用什么方法说明这是个假命题的？

（二）思考题：（让学有余力的同学进行再思考）

1、修正上述命题，使之成为真命题。

2、若改变“一边上中线”为“一角平分线”，其它条件作怎样变化，命题仍

成立，留作同学课外思考。

[归纳小结]

由上可见，我们在思考问题时既要积极大胆，又要注意思维的严密

性，不断优化我们的思维方式。

三、巩固练习：

如图：已知：点D、E分别在AB、AC上，BE和

相交于O点，且DB=EC，要证明OB=OC，还需要增加什么条件？

BC

（一）放手发动学生积极参与讨论，大胆思维，勇于探索。

（二）鼓励学生敢于发表见解，善于发表见解。

（三）学生提出的问题，还是由学生自己来评判是否正确。

（通过开放性练习，让学生探究尝试，调动学生学习的积极性，培养

学生发散性思维和逆向性思维的能力。）

四、课堂小结：

（先由学生小结，然后老师作点评和补充。）

这节课我们学到了些什么？

1、文字命题证明步骤。

2、二次三角形全等证明有关问题。

3、证明假命题的方法——举反例。

4、良好思维品质的培养。

五、作业布置：

1、课本练习及练习册练习

2、有兴趣的同学继续考虑：

（1）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等吗？

（2）类似的角平分线、高有没有这样的性质呢？

五、教案说明

课堂教学是有效地开展师生双边活动的主阵地，在教师的主导作用下，广泛地让学生参与，积极思考，亲自实践，培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识，发展学生的创造性思维，这是素质教育的要求之一。所以，我在教学过程中，让学生充分的动手、动脑，自由的讨论，在此基础上进行分析与研究，以激发学生学习的主动性，同时通过变式训练及开放性练习，不断开发学生的潜能，注重对学生思维品质的培养，从而提高分析问题，解决问题的能力。

本节内容为22.4证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，为了分散难点，先复习了命题的证明步骤，再安排学生根据题意画图并写已知与求证，然后让学生在思考讨论的基础上分析解题思路，突出分析与综合的思想方法，最后独立写证明过程。整个例题基本上是由学生解决的，老师在其中作适当的分析、点评，从而培养学生对问题的观察、比较分析及综合演绎的能力。

由对例题的简单变换，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。其中渗透猜想与反驳的数学思想，注重对学生思维品质的培养。之后又进一步提出问题，让学有余力的学生课外有深入的思考余地。这样的处理，使例7与练习第一题成为一个整体，而练习2的思维方式与例7相同，作为课后作业是对知识

进行巩固。

最后一道题则是提高要求，少给一个条件，进行开放性思维训练、要学生通过讨论，大胆探索，提出所增加的条件，再由学生来判断其正确性。这样学生的积极性得到充分的调动，更增添学生学习数学的兴趣，从而培养学生发散思维与逆向思维的能力。本堂课小结基本上由学生完成，使学生明白通过努力，收获还是很多的，同时也培养了学生对知识的概括归纳能力。

六、教学反思

综观本节课的课堂教学，我认为教学其实施过程比较顺利，并能有效地开展教学双边活动。其中学生始终是课堂教学的主人，在教师的调动下，学生积极参与课堂教学活动，学习的主动性与积极性得到充分的发挥。

在教学中，凡是能让学生自己去获取知识的内容，我都给学生提供机会，大胆地放，如例题教学中，命题证明要先根据题意画图，写已知、求证、再进行证明，我就放手让学生操作，然后分析解题思路让学生讲，疑点让学生议，错如让学生剖析，最后加以修正。这样，使新知识易掌握，错误易暴露，也利于及时纠正反馈，同时，对发展学生的逻辑思维能力是十分有利的，从而使例题教学显得充实、有效。

把例题简单变式后，提出问题“此时命题还是否成立？”其实这是老师有意设计的一个问题，我先让学生猜想认可，学生均自以为判断是正确的。然后教师平等地参与学生一起也发表见解，通过老师实际画图，学生观察分析，直观地认识到结论不成立，再来分析原因，从而引起学生的重视与反思。这样的反例反驳，学生不仅错明确误之处，而且更明确用举反例证明假命题的方法，从而得出与原来不同的结论。这样使学生在今后解题过程中，不仅要敢于探索，大胆思维，同时也要注意思维的严密性与批判性，从而培养良好的思维品质，不断优化思维方式。

巩固练习是属于“从不变的结论来探索使结论成立的已知条件”的编题，其题型结构是：

条件条件条件结论

条件（不变）

条件条件（学生探索）

缺条件，当然要设定，而且有多种可能性，这样的开放性问题要求学生从条

件方面进行思维和纵向发散，而这种思维的发散需要先进行广泛的逆向联想，再进行正向的验证，颇具挑战性，很容易激起学生“跃跃欲试”的情感和对数学知识的浓厚兴趣，从而打破学生的思维定势，开阔思维。在整个教学过程中，由于教师的鼓励，适时的引导，使学生敢于创新，大胆创造，特别是增加了“BE=DC”这个条件，它的证明需添设辅助线，此时由于学生的思维始终处于兴奋状态，就很自然地想到了解决的办法，进而提高了学生分析问题、解决问题地能力，从中得到了“以思维的逆向性和变通性”为主的思维转换能力的培养。

从当堂学生的各种反馈及课后的作业来看，本节课完成了教学任务，达到了教学目的与要求，特别注重了思维力度与品质的培养，但在教学过程中，对某些问题的问法设计上还有待改进。

第2篇：立体几何证明题举例

立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1＝A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．

(1)求证：BD⊥平面CDE；

(2)求证：GH∥平面CDE；

(3)求三棱锥D－CEF的体积．

[审题导引](1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；

(3)变换顶点，求VC－DEF.[规范解答](1)证明 ∵四边形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)证明 ∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如图所示，已知在三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－

BCM的体积．

[审题导引](1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证；

(2)证明AP⊥BC；

(3)根据锥体体积公式进行计算．

[规范解答](1)证明 由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第3篇：§5.6几何证明举例

年级八年级学科数学第五 单元第 8课时总计课时2013年 11月 4日

§5.6几何证明举例（2）

课程标准：掌握等腰三角形的性质和判定定理，了解等边三角形的概念并探索其性质。学习目标：

1.学生会根据三角形全等推导等腰三角形的性质。

2.熟练掌握应用等腰三角形的性质定理。

3.掌握等边三角形的性质，并会运用判定等边三角形。

学习重点难点：

等腰三角形的性质定理和判定定理。

我的目标以及突破重难点的设想：

学前准备：

学情分析：

学案使用说明以及学法指导：

预习案

一、教材助读

1、等腰三角形的性质是什么？判定是什么？

2、等边三角形的性质和判定是什么？

探究案

探究一：等腰三角形的性质

（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

（2）在右图等腰△ABC中，AB=AC.AD为BC边上的高

∠1与∠2有什么关系？BD与CD有什么关系？

你能得出什么结论？试着总结一下。

探究二：等腰三角形的判定（合作交流）

（3）说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题？

（4）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？

课型：新授执笔：马海丽审核： 滕广福韩增美

（5）求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形

已知：

求证：

点拨：注意条件中为什么是两个“角”，不是两个“底角”。

三、精讲点拨：

1、等腰三角形的性质：

性质1：

性质2：

2、数学语言叙述：

性质1：性质2：

∵AB=AC∵AB=AC

∴∠B= ∠C① AD平分∠BAC

（等边对等角）

(①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项)

（三线合一）

3、总结等边三角形的性质以及判定（学生小组讨论，写出他们的证明过程）

四、应用新知

例

2、已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。

求证：AD=AF。

点拨：以后证明线段相等或角相等时，除利用三角形全等外，还可以利用等腰三角形的性质和判定。

五、课堂小结：

训练案

课本180页 练习1,2题

我的反思：

第4篇：初婚初育证明举例

证明

尊敬的领导：

XXX（身份证号码：XXX年X月份入职，XXXX年X月份结婚，XXXX年X月X日XXXXXX医院生子XXX，属于首婚首育，符合计划生育政策。特此证明！

XXXXXXXXXXXXXXXXXX年X月X日