“截长补短法”证明线段的和差问题_线段和差问题证明

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“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华

线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。CED例

1、如图，已知AC∥BD、EA、EB分别 平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗？请说明理由．

A

B 分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：

（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”

（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ACAF 12

AEAE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

6D34 BEBE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F ∵ ∴F4,又∵34 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

F 312

AEAE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

56BEFE 4F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．

分析1： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，B

D 构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．

C

证明：在AC上取一点E，使AB=AE，连结DE．

在△ABD和△AED中，ABAEBADDAE ADADA

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE． B 证明：在AB的延长线上取一点E，使AC=AE，连结DE． 在△AED和△ACD中，AEACBADDAC

ADADE

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可． 证明：延长DB到点E，使AB=BE，连结AE，E B D 则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

学以致用：

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C