“截长补短法”证明线段的和差问题_线段和差问题证明

“截长补短法”证明线段的和差问题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“线段和差问题证明”。

“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华

线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。CED例

1、如图，已知AC∥BD、EA、EB分别 平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗？请说明理由．

A

B 分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：

（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”

（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ACAF 12

AEAE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

6D34 BEBE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F ∵ ∴F4,又∵34 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

F 312

AEAE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

56BEFE 4F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．

分析1： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，B

D 构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．

C

证明：在AC上取一点E，使AB=AE，连结DE．

在△ABD和△AED中，ABAEBADDAE ADADA

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC． 即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE． B 证明：在AB的延长线上取一点E，使AC=AE，连结DE． 在△AED和△ACD中，AEACBADDAC

ADADE

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可． 证明：延长DB到点E，使AB=BE，连结AE，E B D 则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

学以致用：

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C

专题：线段的和差问题

专题：线段和差问题线 段 的 和 差 问 题几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积......

几何证明中的截长补短法

平面几何中截长补短法的应用 授课内容：湘教版九年级上册《证明》授课教师：张羽茂 授课时间：讲评内容：证明中的“截长补短法”。讲评目标：1、通过讲评，查漏补缺，解决几何证明中截长......

证明(二)中线倍长法和截长补短法[A.B]

周应坤数学（A.B班共用）电话：***几何证明-常用辅助线姓名：(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤......

初三数学线段的和差证明题目集锦

初三数学线段的和差证明题目集锦初三数学线段的和差证明题目集锦初三数学线段的和差证明题目大全解题知识：要证线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，下......

和差问题

和差问题志向是天才的幼苗，经过热爱劳动的双手培育，在沃土里将成长为粗壮的大树，不热爱劳动，不进行自我教育，志向这根幼苗也会连根枯死。———书霍姆林斯基方法：画线段图。公式：大......