证明极限存在（精选3篇）_极限存在性证明

证明极限存在（精选3篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“极限存在性证明”。

第1篇：证明极限不存在

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在4

如图用定义证明极限不存在~谢谢！

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|

和|sin-L|

同时成立。

即|1-L|

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

第2篇：如何证明极限不存在

如何证明极限不存在反证法 若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，使|sin[1/x1(n)]-L|

即|1-L|

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)矛盾

所以原命题成立

令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y =lim(x趋于0)x^2/(2x)=0 令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y = lim(x趋于0)x^3-x^2/ x^2 =-1 两种情况极限值不同，故原极限不存在 2答案： 首先需要二项式定理：

(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i)* b^i(式一)用数学归纳法证此定理：

n=1(a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1  a+b  故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i)* b^i(式二)则，当n=n1+1时: 式二两端同乘(a+b)[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i)* b^i]*(a+b)=(a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1)i a^((n1+1)-i)* b^i(据乘法分配律)因此二项式定理(即式一成立)下面用二项式定理计算这一极限：(1+1/n)^n(式一)用二项式展开得：(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2)…3)/((n-2)(n-1)… 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2)…3*2)/((n-1)(n-2)(n-1)… 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2)…3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1)… 2*1)]*(1/n)^n 由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n!(式二)当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。

第3篇：极限不存在的证明

不如何证明极限不存在一、归结原则

原理:设f在U0(x0;')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于

xx0

U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。

'

n

例如：证明极限limsin

x0

1x

不存在12n

证：设xn

1n

,xn



(n1,2,)，则显然有

xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。



00,si11(n)xnxn

二、左右极限法

原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)arctan(因为limarctan（x0



1x)

当x

0

时的极限不存在。

1x)

1x)



x=0，limarctan（x0





2，limarctan（x0



1x)limarctan（x0

1x)，所以当x0时，arctan（1x)的极限不存在。

三、证明x时的极限不存在原理：判断当x



时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者

相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x

x



时的极限不存在x

x

xxxx

因为lime0，lime；因此，limelime

x

所以当x

四、柯西准则



时，ex的极限不存在。

0'

原理：设f在U(x0;)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给

xx0

0，存

在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n

x1

n,x1

n1，令

2即证。

五、定义法

原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x

x时没有极限。例如：证明limcosx不存在设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义）数学归纳法