证明矩阵相似（精选6篇）_相似矩阵的证明

证明矩阵相似（精选6篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“相似矩阵的证明”。

第1篇：矩阵相似的性质

矩阵的相似1.1 定义

1.2性质

1.3定理（证明）1.4 相似矩阵与若尔当标准形相似的条件相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵

相似矩阵与矩阵的对角化

相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）

矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似

定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得BX1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2

相似的性质

（1）反身性A∽A：；这是因为AE1AE.（2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使BX1AX，令YX1，就有AXBX1Y1BY，所以B∽A。

（3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使BX1AX，CY1BY。令ZXY，就有CY1X1AXYZ1AZ，因此，A∽C。

1.3 相似矩阵的性质 若A,BCnn，A∽B，则：（1）r(A)r(B)；

Q是nn可逆矩阵，引理：A是一个sn矩阵，如果P是一个ss可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）

证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得BC1AC,由引理2可知，秩1（B）=秩（BCAC）=秩（AC）=秩（A）

（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P1APBP1f(A)Pf(B)

证明：设f(x)anxan1xnnn1a1xa0 a1Aa0E a1Ba0E 于是，f(A)anAnan1An1

f(B)anBan1Bn1kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得BkX1AkX，11anAnan1An1因此 XfAXXa1Aa0EX

anX1AnXan1X1An1X

anBnan1Bn1

f(B)所以f(A)相似于f(B)。

a1X1AXa0E

a1Ba0E

（3）相似矩阵有相同的行列式，即AB,trAtrB；

证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得BC1AC，两边取行列式11ACAC1CA，从而相似矩阵有相同的行列式。得：BCACC又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值1,2,A的迹trA12矩阵有相同的迹,n，而

n，B的迹trB12n，从而trAtrB，即相似（4）A与B有相同的Jordan标准形；（5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。

证明：设A与B相似，由性质2可知AB，若A可逆，即A0，从而B0，故B可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。

（6）若

1证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得BPAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,A与B相似，B与D相似，则A0B0与相似。

0C0DB0P10A0P0使得DQCQ，由于= 10D0C0Q0Q1P0A0P0

=

0Q0C0Q1P0A0B0显然与相似。是可逆矩阵。由此可见，则0C0D0Q

定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基： 1,2，n（1）

1,2,.,n（2）

下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：

(A1,A2,(A1,A2,(1,2,于是,An)(1,2,.,n)A，,An)(1,2，n)B,n)(1,2,.,n)X

(A1,A2，An)A(1,2，n)A[(1,2,.,n)X]

(A1,A2，An)X (1,2,1,.n)AX (1,2,.,n)X1AX

由此可得

BXAX

现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基1,2,.的矩阵。因为BX1AX，令：,n下

(1,2，n)(1,2，.n)X,显然，1,2,n 也是一组基，A在这组基下的矩阵

就是B。

1例一：证明1,2,2i1与ni2相似，其中 i,i,12in,in是,n的一个排列。

证明：设：

A(1,2,n)(1,2,1n)2n，则A(1,2n,,)1i1(n2,i2,1，,.因为)in2和ni1 i2是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。in定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵EA和EB等价。

bcacab例一：设a,b,c是实数，Acab，Babc,证明A与B相似。

abcbca证明：

aabcbbccaEAcabcabbca

aabcbcabcbcaabcEB bca

故EA和EB等价，从而A∽B

3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵

定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A）的初等因子。

定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是EA和EB有相同的列式因子。

定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。

例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A 相似。

证明：因为EA与EA 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故EA与EA 等价，从而A与A 相似。

例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。

证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使BQ1AQ，又设A与B的最小多项式分别为g1,g2，于是：g1Bg2Q1AQQ1g1AQ0,但是，B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g1g2

证法二：设A与B相似，则EA和EB等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。相似矩阵与矩阵的对角化

矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。

定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。

定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。

定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。

定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。

定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。

例4：设复矩阵A的最小多项式f2k1，证明：A与对角阵相似。

证明：f,f2k1,2k2k11，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。

例5：设A为n阶方阵，fEA 是A的特征多项式，并令：Gff,f，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是gA0。

证明：设fEA1n12n2rn，其中1,2,...r 互不相等，且n1n2nrn，则：g12r。如果A与一个对角矩阵相似，则EA的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是1,2，r，它们的乘积就是EA最后一个不变因子

但dn 就 是EArg。亦即dn12dn，的 最 小 多 项 式，所 以gAdnA0。反之，若gA0，则A的最小多项式dn整除g，因而dn没有重根，故A与对角矩阵相似。

131例7：设A210，试证明：

311（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。

证明：⑴fEA332128 ,f32612,用辗转相除法可证得f,f1，故在复数域上A相似于对角矩阵。

（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f有有理根，而f的首项系数为1，从而f的有理根必为整数根。由于f的常数项为-8，如果f有整数根必为1,2,4,8，用综合除法验算它们都不是f的根，因此f无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。

注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化

01（即与一个对角矩阵相似）实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵却同数域的大小有关，例如，二阶方阵A在10i0111B 相似，事实上，取P ，即有PAPB。0iii

第2篇：相似证明

1、△ABC中AF∶FC=1∶2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，求BE:EC

E2、□ABCD中，E是AB的中点，AF=C

B E A3、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线交BA延长线于E，求证：DEDCEABDD

1FD，连接FE交AC于G，求AG∶AC 2D C C4、△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的一点，过点C作CF∥AB，延长BP交2AC于E，交CF于F，求证：BPPEPF

F

C D5、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC上的中点，过点D作BC的垂线DF，交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：BC2＝4DE·DF．

A E C

F

第3篇：3矩阵的证明

矩阵的证明

常见的有矩阵秩的证明，向量组的线性相关性证明等，这些大部分都可以利用矩阵式来解决。掌握好关键的几点。

第一：矩阵式的表示

第二：矩阵秩和相关性的关系（秩小于向量的个数，线性相关，秩等于向量的个数，线性无关）

第三：掌握秩的有关结论，主要有八个结论，用得比较多的有

7.8.AmnBnl0R(A)R(B)nABCR(C)R(A),R(B)

第4篇：相似矩阵与特征值特征向量问题1一种证明矩阵相异特征值对应的特征

相似矩阵与特征值特征向量

问题1：一种证明矩阵相异特征值对应的特征向量线性无关的方法。例：设1,2,值1,2，r是nn矩阵A的相异的特征值，x1,x2，xr分别是从属于特征,r的特征向量，证明，向量组x1,x2，xr线性无关。

证明：（反证法）假设x1,x2,关，不妨设x1,x2，xr线性相关，则其中必然有1pr个向量线性无,xp,xp1必线性相关，且有： ,xp线性无关，而任意x1,x2,l1x1l2x2k1x1k2x2

lpxp0l1l2lp0

kpxpkp1xp1kp10kpkp1k1kx12x2kp1kp1xpxp1

（2）

将（2）式两边乘A，又由Axiixi 得到： k1kAx12Ax2kp1kp1kpkp1kpkp1AxpAxp1

k1k2x2x211

kkp1p1pxpp1xp1

（3）



将（2）式两边乘p1，又得： k1kp1x12p1x2kp1kp1kpkp1p1xpp1xp1

（4）

将（3）式与（4）是相减，得：

k1k(1p1)x12(2p1)x2kp1kp1kpkp1(pp1)xp(p1p1)xp10

（5）,r是互异的特征值，所以，ip10,1ip，又因为，1,2,且x1,x2, ,xp线性无关，所以，由（5）式得出： k1k2kp0

xp10，xp1是特征向量所以xp10矛盾。x1,x2,代入（2）式得：所以，,xp,xp1线性无关。同理可以得到x1,x2，xr线性无关。

问题2：证明当A的所有特征值均小于1时，EA可逆

证明：（反证法）假设当A的所有特征值均小于1时，EA不可逆，则有 则方程(EA)x0有非零解。设给非零解为，则有

(EA)0A，即1是A的特征值，矛盾。

问题3：设n阶方阵A与对角矩阵相似，证明当为A的k重特征值时，有r(EA)nk。

证明：由A与对角矩阵相似得到

A的每个ri重特征值i有ri个线性无关的特征向量，所以A的k重特征值有k个线性无关的特征向量，则方程(EA)x0的基础解系中有k个线性无关的解向量，又由，系数矩阵EA的秩为nk，即r(EA)nk 问题4：相似矩阵性质解析

答：1）若n阶矩阵A与B相似A 与B特征多项式相同：

由 A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P1APB

BEP1APP1EPP1(AE)PP1AP

A2）特征值相同：

由上，特征多项式相同，则特征值相同

3）AB

由P1APBP1APBP1APB AB4）具有相同的可逆性，且可逆时，其逆矩阵也相似：

由AB

则当A可逆，则A0 得B0B可逆

则当A不可逆，则A=0 得B=0B不可逆

问题5：一般的n阶方阵与实对称矩阵的特征值特征向量性质有哪些不同？ 答：1）特征值：

一般的n阶方阵的特征值：可以是实数或复数； 实对称矩阵的特征值：都是实数。2）特征向量：

一般的n阶方阵的特征向量：不同的特征值对应的特征向量线性无关，重根对应的线性无关的特征向量的个数大于等于一小于等于该重数； 实对称矩阵的特征向量：不同特征值对应的特征向量相互正交，重根所对应的线性无关的特征向量的个数等于重数。3）对角化：

一般的n阶方阵：不一定能相似对角化。实对称矩阵：一定可以正交相似对角化。

第5篇：《相似三角形的证明——K字型相似》教案

课题：相似三角形的证明——K型相似（教案）

学校：茶陵思源实验学校 教师姓名：段中明

教学目标：

1、通过习题引入，了解“K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；

2、利用“K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；

3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“K型图”相似解题的特点与经验。

教学重点难点：

1、在已知图形中观察关键特征——“K型”；

2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“K型”图形；

3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。学情分析：

学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如 “A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。结合中考试题探究“K型图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。教学过程：

一、课前寄语：

学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成长，快乐学习！

二、复习与回顾：

1.相似三角形的判定3条定理；

2.相似三角形的基本图形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双垂直型„„

3.图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。

三、新课讲解：

（一）.呈现学习目标：

（1）.能利用k形图证明三角形相似；（2）.能构造k形图解决相关问题（3）.体会“分类讨论”的数学思想

（二）.轻松一刻：（突出快乐学习）

同学们，这幅画美吗？看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富有诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗？

对，是《小池》。它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴实又真切感人。今天我们边欣赏古诗边学习新课。下面我们跟着这首古诗走进今天的例题探究。

（三）.例题探究：

1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则DF=__________ 2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为.A

3.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点，(1)若DE⊥EF，求证：△ADE∽△BEF；

(2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。

4.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5 ∥l6，如果正方形ABCD的四个顶点在平行直线上相邻两条平行直线间的距离相等且为1，AB与l4交于点G.(1)求正方形的面积；(2)求CG的长

一、课堂练习：

1.如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长。（一题多解）

BFCEADEBDCDL1L2L3AGCL4L5L6B2.在直角梯形ABCF中，CB=14，CF=4, AB=6，CF∥AB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_______（分类讨论）

二、课后拓展：

1.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l1、l3上并与l2相交于点E，①AE与BE的长度大小关系为

； ②若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l2、l4上，则sinα=

2.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动，其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），作QR//BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ.五、课堂小结：

我们今天这堂课收获了什么呢？

（1）学习了K型相似的证明；（2）我们要快乐学习。

六、作业布置：

ADCEB

第6篇：添平行线、利用相似三角形证明

平行线分线段成比例(添辅助线)

一、知识要点：

1、平行线分线段成比例的基本图形；

2、构造基本图形来解题。

二、例题简析及练习：

例

1、已知FD与△ABC的边AB交于F，与AC交于E，与BC的延长线交于D，且

DEABAF=CD，求证： EFBC

B C D

1EF2AF练习

1、已知如图BD=CD，求证： 2BEAC

C例

2、△ABC中AF∶FC=1∶2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，求BE:EC

C E

练习

2、△ABC中D是BC上的一点，AE∶EC=3∶4，BD∶DC=2∶3，求BF∶FE

E

C D 1例

3、□ABCD中，E是AB的中点，AF=FD，连接FE交AC于G，求AG∶AC 2D C

B E A

练习

3、已知，如图，△ABC中，E、F分别为BC的三等分点，D为AC的中点，BD分别与AE、AF交于点M、N，求BM:MN:ND

DE F C

三、巩固练习：

1、△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AP=PD。求证：1）PB=3PF；2）如果AC=13，求

AF的长。

F

C D2、如图，D、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3 连DF交BC的延长线于E.求EF∶FD.3、已知OM∶MP=ON∶NR，求证：△PQR为等腰三角形。O4、直线截△ABC的边AB、BC、AC或其延长线于D、E、F，求证：

5、在△ABC中AC=BC，F为底边AB上的一点，的中点D，连接AD并延长交BC于E。1）求

R

ADBECF

1 DBECFA

F

E

D

C

BFm

，（m,n为正数）。取CFAFn

BE的值；2）如果BE=2EC，那么CFEC

所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论。3）E点能否为BC的中

m

点？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由。

n

利用相似三角形的证明

1、已知菱形ABCD中，F是BD上的一点，AF的延长线交BC于E，交DC的延长线于G，A

求证：CFFEFG

D

练习、如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点, E、F分别在AB、AC上，∠BDE＝∠CFD.试说明 : BD·DC = BE·CF

练习、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线交BA延长线于E，求证：DEDCEABD

D

C2、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB，求证：AD=BF3、已知等腰直角△ABC中，BD

B

D

A

1AB,AEAC，求证：∠ADE=∠EBC。3

3练习、已知等腰直角△ABC中，AM∶MN∶NC=3∶1∶2，求证：∠CBN=∠ABM

E

C

B4、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在CB和CB的延长线上，∠BAE＝∠ADB．求证：AB2＝CD·BE．

B

C

E

练习、已知：如图4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

5、已知如图，△ABC中AD是∠A的平分线，E是AB的中点，EF⊥AD交BC延长线于F，求证：DFCFBF

F D C

练习、△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的一点，过点C作CF∥AB，延长BP

交AC于E，交CF于F，求证：BPPEPFF

D C6、已知如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，求证：BC22ACCD

C

练习

3、已知：在△ABC中，∠

BAC＝90°，点D为BC上的中点，过点D作BC的垂线DF，交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：BC2＝4DE·DF．

A CE

巩固练习

F1、如图△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，D、B、C、E共线，则图中有相似三角形的个数至少为（）(A)一对(B)二对(C)三对(D)四对



ABC，C90,CDAB于D，延长CB到E，使BECB。

2、已知：如图，求证：BAEBED。

3、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB·AF=AC·DF。

4、已知：如图，D、E是△ABC的边BC上两点，且∠BAD=∠C，∠DAE=∠EAC，求证：BD:BA=DE:EC5、已知：如图，在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。求证：AD=DF。

6、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB7、如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接并延长DE交BC的延长线于点

F，连接DC、BE，若∠BDE＋∠BCE＝180°。⑴写出图中3对相似三角形（注意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的相似三角形中选取1对，说明它们相似的理由。A8、如图，在△ABC中，DF经过△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，连接EF，如果BC=5，AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC

F