高数证明（精选3篇）_高数证明题

高数证明（精选3篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高数证明题”。

第3篇：高数中需要掌握证明过程的定理

高数中的重要定理与公式及其证明

（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）常用的极限

ln(1x)1cosx1ex1ax1(1x)a1lim1，lim lim1，limlna，lima，x0x0x0x0x0xx22xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

x)e与过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x01xsinx1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x0x巧。证明： lim1ln(1x)ln(1x)lim1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim1。

x0x0x0xx

ln(1x)ex11中，令ln(1x)t，则xet1。由于极限lim1：在等式limx0x0xx过程是x0，此时也有t0，因此有limt0t1。极限的值与取极限的符号et1ex11。是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得limx0x

ax1ax1exlna1limlna：lim利用对数恒等式得lim，再利用第二个极限可x0x0x0xxxexlna1exlna1ax1lnalimlna。因此有limlna。得limx0x0xlnax0xx(1x)a1lima：利用对数恒等式得 x0x(1x)a1ealn(1x)1ealn(1x)1ln(1x)ealn(1x)1ln(1x)limlimalimalimlimax0x0x0x0x0xxaln(1x)xaln(1x)x上式中同时用到了第一个和第二个极限。

xx2sinsin1cosx1cosx121lim21。limlimlim：利用倍角公式得 x222x0x0x0x0xx22x22222）导数与微分的四则运算法则

(uv)'u'v', d(uv)dudv(uv)'u'vuv', d(uv)vduudv

u'vu'uv'uvduudv(), d()(v0)22vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则

设yf(u),u(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导，则复合函数yf((x))在x处可导可导，且有：

f((x))【点评】：同上。4）反函数求导法则

'f'(u)'(x)或dydydu dxdudx设函数yf(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为xg(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

11dx1 或''dyf(x0)f(g(y0))dydx【点评】：同上。g'(y0)5）常见函数的导数

xx'1，'sinx'cosx，cosxsinx，lnxx''11'，logax，xxlnaxee，axexlna '【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：

f(xx)f(x)'，代入该公式得 xx1：导数的定义是f'(x)limx0xxx(1)1(1)1(xx)x'1xxxxlimx1。最后一xlimx0x0xxxx(1x)a1a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。步用到了极限limx0xx0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

sin(xx)sinx''lim，由和差化积公式得sinxcosx：利用导数定义sinxx0xxx2cos(x)sinsin(xx)sinx22cosx。cosx'sinx的证明类limlimx0x0xx似。

xln(1)1ln(xx)lnx'x1。limlimlnx：利用导数定义lnx'x0x0xxxx1lnx'的证明类似（利用换底公式logax）。logaxxlnalna

eex'x：利用导数定义ex'xe(xx)ex1xxex'limlimee。aexlna的x0x0xx证明类似（利用对数恒等式axexlna）。

6）定积分比较定理

如果在区间[a,b]上恒有f(x)0，则有f(x)dx0

ab推论：ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；

aabbⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)

ab【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：

baf(x)dxf()(ba)

【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8）变上限积分求导定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(x)dx在[a,b]上

ax可导，并且它的导数是

dx'(x)f(x)dxf(x),axb

dxa设函数F(x)u(x)v(x)f(t)dt，则有F'(x)f(u(x))u'(x)f(v(x))v'(x)。

【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则有f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函数。

【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：

设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)0

【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b)

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()0。

【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f'()【点评】：同上。13）柯西中值定理： 如果函数f(x)和g(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导

f(b)f(a)。

baf'()f(b)f(a)那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得'。g()g(b)g(a)【点评】：同上。14）单调性定理：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。

如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递增。如果在(a,b)上有f'(x)0，那么函数f(x)在[a,b]上单调递减。

【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：

仅证明f'(x)0的情形，f'(x)0的情形类似。

x1,x2(a,b)，假定x1x2

则利用拉个朗日中值定理可得，x2,x2使得f(x1)f(x2)f'(x1x2)。由于f'0，因此f(x1)f(x2)0。

由x1,x2的任意性，可知函数f(x)在[a,b]上单调递增。

14）(极值第一充分条件)

设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域U(x0,)内可导。

ⅰ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极大值

ⅱ）若x(x0,x0)时，f'(x)0,而x(x0,x0)时，f'(x)0,则f(x)在x0处取得极小值；

ⅲ）若xU(x0,)时，f'(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值； 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15）(极值第二充分条件)

设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f'(x0)0，那么 ⅰ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极小值； ⅱ）若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极大值。

【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：

仅证明f''(x0)0,的情形，f''(x0)0,的情形类似。

由于f(x)在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在x0的某领域内成立f(x)fx0f'x0xx0f''x0由于f'(x0)0，因此

xx0222oxx0 f(x)fx0f''x0xx0222oxx02''oxx02fx0fx0xx022xx0

2''oxx0fx0由高阶无穷小的定义可知，当xx0时，有又由于0，0，22xx02oxx0fx00。因此在x0的某领域内成立22xx0''2''oxx02fx0fx。进一步，我们有fx0xx0022xx0也即，在x0的某领域内成立f(x)fx0。由极值点的定义可知f(x)在x0处取得极小值。16）洛必达法则

f'(x)设函数f(x),g(x)在xa的空心邻域内可导，g(x)0，且lim'A

xag(x)'则有limxaf(x)A，其中A可以是有限数，也可以是,。g(x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。