立体几何证明（精选4篇）_立体几何证明方法

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第1篇：立体几何证明

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

四个判定定理：

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很

第2篇：立体几何证明

1、（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱

交B1C于点F，BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，（1）求证：A1C⊥平面BDE；



D3．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BCAC2，AA14，为棱CC

1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心.（1）求证：MNBC； ．

A

B

4.如图，在三棱拄ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C1,

1N 31 B1

（Ⅰ）求证：C1B平面ABC；



A11

（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCDA

1BC11D1是正方体，其中AB2,PA

（1）求证：PAB1D1；

6．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；（2）若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，指出点Q的位置，7、如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求证：平面PDC平面PAD；

8.正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求证：BC⊥面PAC；

P（2）求证：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.(12分)

11、已知ABC中ACB90，SA面ABC，ADSC，求证：AD面S分)

12、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O面AB1D1；（2）AC面AB1D1．(14分)

1

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命题正确的是………………………………………………（）

B

A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面

2．若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与a异面B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一的直线与a平行D．内的直线与a都相交

3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面

4．正方体ABCDA'B'C'D'中，AB的中点为M，DD'的中点为N，异面直线B'M与CN所成的角

A．0B．45C．60D．90

5．平面与平面平行的条件可以是…………………………（）

A．内有无穷多条直线都与平行C．直线a，直线b且a//，b// B．直线a//,a//且直线a不在内，也不在内D．内的任何直线都与平行 6．已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命题中错误的是……………………………………（）A． 如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B． 如果平面，那么平面一定存在直线平行于平面

C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面，，l，那么l

8．直线a//平面，P，那么过点P且平行于的直线…………（）A． 只有一条，不在平面内B．有无数条，不一定在内C．只有一条，且在平面内D．有无数条，一定在内 9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED 平行②CN与BE异面③CN与BM成60

④DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是__________________ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________ 4.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是______________

第3篇：立体几何证明方法

立体几何证明方法

一、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行。（线面垂直的性质定理）

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的两个平面平行

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。6利用向量来证明。

7、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

8、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

第4篇：立体几何证明题

11.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2.如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，AB//CD，PDAD，E是C A1 1D B

PB的中点，F是CD上的点且DF

PH为△PAD中AD边上的高.（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH

1，AD1AB，2FC1，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EF平面PAB.3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABE分11AC11，D，别是棱BC，（点D 不同于点C），且ACC1上的点DDEF，为B1C1的中点．

求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．

5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.（I）求证：平面EFG平面PDC；

（II）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C

。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD平面BB1C1C.9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F

是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥

ABCF,其中BC

(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD

图4

时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.3

10.如图,在四棱锥PABCD

中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面

ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求

证:

(1)PA底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF平面PCD

（2013年山东卷）如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为

PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN

11.