高二数学推理与证明知识点与习题_高二数学推理与证明

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推理与证明

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1.推理 ：前提、结论

2.合情推理:

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明

题型1用归纳推理发现规律

；„.对于任意正实数a,b

成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故ab222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

f(n)表示第一、推理 n幅图的蜂巢总数.则

f(4)=_____;f(n)=___________.【解题思路】找出f(n)f(n1)的关系式

[解析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837

f(n)1612186(n1)3n23n

1【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2用类比推理猜想新的命题 [例 ]已知正三角形内切圆的半径是高的是______.【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法，即S等体积法，V，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论

3111

ah3arrh，类比问题的解法应为223

1111

Sh4Srrh即正四面体的内切球的半径是高 334

4【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

二、直接证明与间接证明

三种证明方法:

综合法、分析法、反证法

反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；

(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立

(4)肯定原命题的结论成立

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1综合法

在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC [解析]ABC为锐角三角形，AB



A



B，ysinx在(0,)上是增函数，sinAsin(B)cosB

2同理可得sinBcosC，sinCcosA



sinAsinBsinCcosAcosBcosC

考点2分析法

已知ab0,求证abab

[解析]要证aab，只需证(a)2(ab)2即ab2abab，只需证b

ab，即证ba

显然ba成立，因此aab成立

【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---” 考点3反证法已知f(x)a

x

x2

(a1)，证明方程f(x)0没有负数根 x

1【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且a

x0



x02

x01

0ax010

1x02

1，解得x02，这与x00矛盾，2x01

故方程f(x)0没有负数根

【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

三、数学归纳法

一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个

步骤:

(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k

(kN,且kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点1数学归纳法

题型：对数学归纳法的两个步骤的认识

[例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k2且为偶数）时命题为真，则还需证明（）

A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立

[解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式f(k)（3）从f(k1)和f(k)的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子 考点2数学归纳法的应用

题型1：用数学归纳法证明数学命题

用数学归纳法证明不等式223n(n1)

(n1)2

2[解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即2则2

23k(k1)

(k1)2 2

23k(k1)(k1)(k2)

(k1)2(k1)(k2)2

1(k2)2(k1)(k2)2

(k1)k1)(k2)k1)(k2)0 222

1223k(k1)(k1)(k2)[(k1)1]2

当n=k+1时，不等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；

（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面

习题

1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

2、在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）A.29B.254C.602D.200

41an

23、利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋„＋a=，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=

11a

n＋1

成立时，左边应该是（）

3(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a(D)1＋a＋a＋a4、用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)”（nN）时，从 “nk到nk1”时，左边应增添的式子是

A．2k

1B．2(2k1)

C．

D．

（）

2k1

k12k

2k15、已知n为正偶数，用数学归纳法证明1

11111112()时，若已假设nk(k2为偶 234n1n2n42n

（）

B．nk2时等式成立 D．n2(k2)时等式成立

数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证

A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A．有一个解B．有两个解 C．至少有三个解

D．至少有两个解

7、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()

A．a、b、c都是奇数C．a、b、c都是偶数

B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数

8、已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.9、已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.10、（1）用数学归纳法证明：n5n能被6整除；

（2）求证 n3(n1)3(n2)3(n∈N)能被9整除

*

11、若a,b,c均为实数，且错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,求证：a，b，c中至少有一个大于0。

12、用数学归纳法证明： 1

13、用数学归纳法证明下述不等式：

1111nn； 23421

11119

(nN,且n2).n1n2n33n10