数学归纳法证明不等式_数学归纳法证不等式

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数学归纳法证明不等式的本质

数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)g(n)(nN)的形式或近似于上述形式。

这种形式的关键步骤是由nk时，命题成立推导nk1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记左nf(k1)f(k)，右ng(k1)g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)例1．已知an2n1，求证：

本题要证后半节的关键是证 an1a1a2nn(nN)23a2a3an12

2k111中k右k即证k2 212

而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。

而要证前半节的关键是证

12k11左k中k即证k2 221

而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。

有时，f(n)g(n)(nN)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)0,g(n)0是显然成立的。此时，可记

左kf(k1)g(k1)，右k f(k)g(k)

分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由nk时，成立推导

nk1成立，可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)

和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“