解析法证明平面几何题—高二中数学竞赛讲座_数学竞赛平面几何证明

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【高中数学竞赛讲座2】

解析法证明平面几何

解析法，就是用解析几何的方法来解题，将几何问题代数化后求解，但代数问题未必容易，采用解析法就必须有面对代数困难的准备，书写必须非常规范．

解析法的主要技巧：

1．尽量化为简单的代数问题，尽量利用对称性建系，选择恰当的坐标系与便于使用的方程形式；

2．运用各种代数技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、证明：任意四边形四条边的平方和，等于两条对角线的平方和，在加上对角线中点连线的平方的4倍．

例

2、给定任一锐角三角形ABC及高AH，在AH上任取一点D,连结BD并延长交AC 与E,又连CD且延长交AB于F.证明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1，u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取点D1,使11（，u，m，n都是实数）．延长A1D交BC于D，求． DCD1C1n例

3、在ABC的边AB上取点B1,AC取点C1,使

例

4、如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证： MQ∥NP．

例

5、[29届IMO]在RtABC中，AD是斜边上的高，M、N分别是ABD与ACD与的内心，连接MN并延长分别交AB与AC于K及L．求证明、：SABC2SAKL．

课后拓展训练与指导

钻研《教程》293~302例

1、例

2、例

3、例

7、例8

思考并完成《高二教程》303练习题

补充几道题目，请尝试用解析法研究

1、（2005全国联赛二试）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

C

D

GH

K

B AF2、（全国高中联赛二试）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求P 证直线PA与BC垂直．

O1。O

2C E B3、（20届IMO）在ABC中，ABAC，有一圆内切ABC的外接圆，与AB 与AC分别相切于点P和Q．求证：P和Q连线中点是ABC的圆圆心．