高中数学选修45：2.1.5证明不等式的基本方法——反证法_高中数学不等式的证明

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2.1.5证明不等式的基本方法——反证法

【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能给出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明下列三个方程：

0中至少有一个方程有两

个相异实根.3.已知

（1）证明：函数f(x)在（－1,+∞）上为增函数;

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【典型例题】

例1.若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证：

例2.已知

为－.求证 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值为2,最小值中至少有一个成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤

2例4.设a,b,c都是奇数,求证：方程

没有整数根.【课堂检测】

1.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设______________．设全体质数为p1、p2、„、pn，令p＝p1p2„pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、„、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、„、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反证法证明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求证：a,b至少有一个能被5整除.4.已知数列{bn}的通项公式为bn＝

4能成等差数列．

【总结提升】

1.当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰时的不等式的证明常用反证法.2.如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情况的不等式证明常用反证法...求证：数列{bn}中的任意三项不可

§2.1.6证明不等式的基本方法——放缩法

（一）【学习目标】

3.理解放缩法证明不等式的原理.4.掌握放缩法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

4.什么是放缩法,放缩法证明不等式的理论依据是什么？ 5.放缩法证明不等式时,如何把握放大和缩小？ 【自主检测】 1.求证: 

k1n

15*

（n∈N）k23

2.求证：

111*

2（n∈N）2n2n12n1

6n11

1

(n1)(2n1)49



15*

.(n∈N）

n23

3.求证:

【典型例题】

例1.已知n∈

N*求证：（1



;.（2）21

an1aa

例2.已知an2n1(nN*).求证：12...n(nN*).23a2a3an1

例3．函数f（x）=

例4．已知an=n，求证：∑

k=1

【课堂检测】 1.求证:1

n

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n1

(nN*)2

k ak

＜3．

11171(n2)222

62(2n1)35(2n1)

2n3

2.已知an42,Tn,求证:T1T2T3Tn

2a1a2an

n

n

6.求证:（1）(11)(1)(1)(1)

352n1

2n1.（2）(1

1111)(1)(1)(1)2462n

12n1

4.已知函数f

x

x0,.对任意正数a,证明：1fx2．

【总结提升】

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。