《数学确定性的丧失》读后感_奇妙的数学故事读后感

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《数学确定性的丧失》观后感

这是一本写数学发展史的书，这是一本揭示数学界内部激烈矛盾的秘籍，这是一本批判“数学推理是准确无误的”观点的书；这是一本文学著作，这也是一位大思想家的深邃思考。我，一名数学专业的学生，在初读此书时，曾那么沮丧，我曾奉之为信仰的真理，竟是这样的不堪一击。然而随着阅历的增加，思考的深入，我才明白，数学的不确定性，才是通向真理之门的路。如此辩证的思维，也只有在明白了哲学以后才能明白吧。

先来简单介绍一下本书的作者。M?克莱因（1908.5.1—1992.5.10），美国数学史家、数学教育家与以研究电磁理论见长的数学家，其关于数学史的代表作是《古今数学思想》，关于数学批判的代表作是《数学：确定性的丧失》。自从欧几里得建立了现代数学的明确模式以来，他是比任何人都更好地理解了数学的思想家。本书开篇即谈“战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也能引起智力悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无与伦比的成就，对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响——数学的头上。”在大多数人眼里，数学被认为是关于宇宙设计的真理，是关于物质世界的不可动摇的知识体系；数学推理是精确论证的顶峰，是准确无误的，是真理的化身。然而，事实上，正如克莱因在书中指出的那样，今天，普遍接受的数学概念已不复存在，有许多相互矛盾的数学概念，数学已不再受到普遍尊重和景仰。本书强调了数学不合逻辑的发展方式，应用数学反对“纯”数学的问题以及在20世纪数学逻辑结构的连贯性遇到的挑战。人类对于宇宙以及数学地位的认识已被迫作出了根本性的改变。那么，人类是如何认识到这种观点是错误的呢？我们现在的观点又是什么呢？举例来说，牛顿为了解决天体的运动问题创立的微积分，然而在他创立微积分学的时候，他并不知道连续函数不一定可导，更没有实数系连续统的概念。对于数学发展史来说，这样的顺序是耐人寻味的，因为它“并不是按着先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，数学家们是按着相反的顺序与它们打交道的。”然而对于数学发展来说，魏尔斯特拉斯的例子没有早出现是微积分发展史上的幸事，正如皮卡(Emile Picard)在 1905 年所说的那样：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。的确，严谨的思想也可阻碍创造。”是的，数学在创立的初期，就是不完备的，不确定的。数学被人

们当做真理一样信奉着，是因为，在描述和研究自然与社会现象时，数学的有效性在持续扩大，它确实解决了很多理论上的、现实中的问题。然而数学真理大厦的根基是不牢固的，甚至是岌岌可危的——这是随着数学的发展被逐步认识到的。

再比如说非欧几何的创立，在欧氏几何中有一条公理一直在困惑着数学家们，不是由于他们对其正确性有任何怀疑之处，而是由于它的表达方式。这就是平行公理，或者通常称为欧几里得的第五假设，欧几里得的表述是这样的：

如果一条直线与两条直线相交，使得一侧的内角不都是直角，则如果将这两条直线延长，它们在内角不都是直角的直线一侧相交。

早在希腊时代，数学家们就开始致力于解决欧几里得的平行公理所带来的问题了。他们做了两种不同类型的尝试，一种是用看来更加自明的命题来代替平行公理。另一种是试图从欧几里得的其他九条公理中推导出平行公理。然而，无论是哪种尝试，都不能得出令人信服的结论。渐渐地数学家们开始正确地理解欧几里得的平行公理的重要性。1763年克吕格尔(GeorgS．Klugel)在他的博士论文中提出了引人注意的论点：即人们确信欧几里得平行公理为真理是基于经验的。这一论点首次引进的思想是：公理的实质在于符合经验而并非其不证自明。兰伯特和其他人的工作都强调一个基本点，就是欧几里得的平行公理不能由其他九条欧几里得的公理证明，那也就是说，它是独立于其他公理的。进一步，兰伯特认为有可能通过引入一条异于欧几里得平行公理的公理来建立一个逻辑上一致的几何。这样，他们认识到了非欧几何的存在。

所有领域中的真理都将被数学不是真理这个认识动摇了。人们可能仍然希望或者相信能够找到政治、伦理、宗教、经济和其他诸领域中的真理，然而这种希望的最有力的支持没有了。数学向世界证明了人能获得真理，然后又毁掉了这个证明。正是非欧几何这个推理的重大胜利导致了这场灾难。

许多数学家可能更愿意把对数学当前地位的揭示控制在数学圈里，公开曝光这些困难也许会出现不好的效果，家丑不可外扬嘛。但是，受理性指导的人们必须充分认识到他们所掌握的工具的力量，认识到推理的能力及其局限性，这远比盲目相信有益得多，后者很可能导致错误的思想甚至毁灭。对于一个数学工作者，知道数学发展的历史，是至关重要的。这涉及到工作者是怎样看待数学，不迷信

于既有的体系，保持深思的习惯，以及对其发展的信心和合理运用的掌握。正如本书最后所言“尽管数学的基础尚不确定，数学家们的理论亦彼此冲突，而数学却已被证明成就辉煌，风采依然。”