几何证明及辅助线添加和函数问题的几点体会_几何辅助线的问题总结

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几何证明及辅助线添加和二次函数问题的几点体会

几何解答（或证明）辅助线添加

添加辅助线不宜生搬硬套什么方法和套路。个人有以下几条体会供参考：

一、添加辅助线实际上是增加题目条件中不充足的已知论断，让已知条件变得更充足。添加辅助线就是要灵活运用数学化归的思想。方法和技巧在理解和练习的基础形成、掌握直至熟练。添加辅助线应该根据题中已知论断和未知论断的的需要来添加。

二、几何证明（或解答）的常用思路和添加辅助线的目的：

1、转化（已知和未知）条件中的数量关系。数量关系包括：

（1）角和线段的和、差、倍、分关系。角的和差通常通过全等变换（平移、旋转[包括中心对称]和轴对称把有和差关系的角叠加在一起）；角的倍分关系可成倍放大或等分、利用三角形外角关系（如等腰三角形顶角的外角等于底角的二倍）；

（2）线段的和差关系往往利用截长补短的方法来转化，而线段的倍分关系用倍长中线、等分线段或添加平行线转化比例线段。

（3）图形的周长：常见的最短距离问题，利用两点之间线段最短把某些定点作定直线的对称点连接起来与定直线的交点即为该动点的静态位置。[例如：二次函数教案P22第11题]（4）转化图形的面积，有两种情况：一是将定理“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”推广使用，和前面所述线段的倍分关系相关。二是利用“等底等角的三角形面积相等即如果一条直线平行于一条线段，那么这条直线上的所有点与这条线段两端点连接而成的三角形的面积相等”来转化。[例如：二次函数教案P14－17第1－5题]

2、转化已知和未知中的位置关系。

几何着重在于研究图形的识别，大小，性质，判定，画法及相互关系。这里的相互关系就包括同一平面内两条直线的位置关系。

图形的位置关系考虑三种情况：

1、平行；

2、垂直；

3、特殊角。

需要注意的是特殊角。特殊角要放在特殊三角形中，如：直角三角形，等边三角形。常常需要添加直线三角形或旋转（如45度角旋转成直角三角形，利用60度角旋转60度或120度，利用全等三角形和等边三角形的性质进行解答或证明）。

3、图形间的关系：

图形间的关系包括：全等和相似

在添加辅助线时构造全等的常用方法：（1）利用角平线添加成轴对称的全等形；（2）利用中线添加成中心对称的全等形；（3）通过平移构造全等形；（4）通过旋转构造全等形；（5）作平行线等办法构造相似形或转化比例线段。

三、圆的证明和计算

圆的计算或证明抓住几个定理来证明或转化。角的关系：圆周角定理及推论；[重要] 线段的关系：垂径定理及推论；[重要] 直线和圆的关系：切线的性质、判定；[重要] 三角形和圆的关系：圆的内接三角形和三角形的外切圆 切割线定理[重要]；

相交弦定理和弦切角定理[不在课程标准内，中考原则上不考。但各校入学考试可能涉及]；

圆内接四边形（四点共圆）、正多边形和圆；

圆、扇形的周长（面积）和旋转体（圆锥和圆柱）有关的计算。[较重要，中考不难]

解答函数题可能用得到的各函数的意义

1、正比例函数y=kx(k≠0，k为常数）

（1）代数意义：函数值y是自变量x的k倍的所有有序实数对的集合；（2）几何意义：平面直角坐标系内纵坐标是横坐标k倍的所有点的集合。

2、一次函数y=kx+b(k≠0,k、b为常数）

（1）代数意义：函数值y比自变量x的k倍大b的所有有序实数对的集合；（2）几何意义：平面直角坐标系内平行于直线y=kx(k≠0,k为常数）且纵坐标比横坐标k倍大b的所有点的集合。

其中，k叫斜率。反映直线的倾斜程度即直线与x轴正半轴夹角α的大小。(k=tanα),b称为直线在y轴上的截距。b的符号决定直线平移的方向，它的绝对值决定平移的距离。

3、反比例函数y=k/x(k≠0，k为常数）

(1)代数意义：自变量x与函数值y乘积为定值k的所有有序实数对的集合；(2)几何意义：平面直角坐标系内横坐标与纵坐标乘积为定值k的所有点的集合。在解答用反比例函数求面积有关问题时用到。

其中，k叫双曲线的曲率。它的符号决定双曲线经过的象限，绝对值大小决定双曲线的弯曲程度。

4、二次函数的意义

代数意义和几何意义会在高中阶段学习。

其中，a的符号决定抛物线开口的方向，a的绝对值决定开口的大小。a和b共同决定抛物线的对称轴，c是抛物线与y轴交点纵坐标。

二、灵活运用点与函数的关系解决函数问题

解题时，紧紧抓住图象或题中给出的点，以及图象与两坐标轴的交点。

研究和解决函数应用题始终抓住以点研究线，线指导点，点是线的典型性代表，点线结合，动点是有规律变化的点，但在实际问题中找动点上的特殊点让动点成为定点要静态地去看待和研究它，注意数形结合。时刻不忘线与线的相互作用和关系。

三、灵活运用函数与方程、不等式的关系

函数与方程和不等式的关系用来求图象与坐标轴的交点坐标和变量的取值范围； 二次函数与一元二次方程和二次不等式的关系运用中要考虑到一元二次方程一般形式中二次项系数的限制条件以及判别式和韦达定理的使用。二次函数的最值要注意顶点坐标是否在自变量x的取值范转内。

四、解答函数问题可能用到的两点知识

1、三角形的面积

11如图所示的三角形的面积分别为：Sah、Sx1x2PQ222、两条互相垂直的直线斜率互为负倒数。

如图

y1k1xb1y2k2xb2则：k1k21