高考专题数列与不等式放缩法_数列不等式放缩法

高考专题数列与不等式放缩法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数列不等式放缩法”。

高考专题——放缩法

一、基本方法

1.“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜例2.已知a、b、c不全为零，求证：。aabb2bcc2c2aca2＞3（abc）

2[变式训练]已知an2n1(nN*).求证：an1a1a2...n(nN*).23a2a3an

12.分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜

3.裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求1a＋b＋c＜2。acab

121

„1

n＜2n。

n(n1)(n1)

2例5.已知nN且an223n(n1)，求证：an22对所有正整数n都成立。*

4.公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

n2x1*例6.已知函数f(x)x，证明：对于nN且n3都有f(n)。n121

例7.已知f(x)x2，求证：当ab时f（a）f（b）ab。

5.换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8.已知abc，求证

0。abbcca

例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2b2c2，当nN*且n3时，求证：

anbncn。

6.单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10.已知a，b∈R，求证7.放大或缩小“因式”；

ab1ab



a1a



b1b。

n

例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2.232k

1n

8.固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

11117 122232n2

49.利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例

8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)

i

i

n

＞(1+n)

m

二、放缩法综合问题

（一）、先求和后放缩

例1．正数数列an的前n项的和Sn，满足2Snan1，试求：（1）数列an的通项公式；（2）设bn

1，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn。

2anan1

（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩）例、函数f（x）=

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n

1(nN*).21．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2Sn.an2an12(1)求证：Sn；

(2)

2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：a2n(a)n(a1)an；

（2）等比数列{an}中，a1，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设

a1bnn，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

31an

3．放缩后为差比数列，再求和

例4．已知数列{an}满足：a11，an1(1

n)an(n1,2,3)．求证： n2

an1an3

n1

2n1

n

4．放缩后为裂项相消，再求和

例

5、已知an=n，求证：∑

k=1ak

k

＜3．