解析几何的建立和意义_数学论文_高中数学解析几何论文
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一、解析几何的建立一句话，科学的需要和对方法论的兴趣，推动了费尔马和笛卡尔对坐标几何的研究。费尔马，出身于商人家庭，学法律并以律师为职业，数学只是他的业余爱好。虽然他只能利用闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分做出了第一流的贡献。并同巴斯卡(Pacal)一同开创了概率论的研究工作，他和笛卡尔都是坐标几何的发明者。费尔马关于曲线的工作，是从研究古希腊几何学家，特别是阿波罗尼(Apollonius)开始的。阿波罗尼的《论平面轨迹》一书久已失传，而费尔马是把它重新写出来的人之一。他用代数来研究曲线。他说，他打算发起一个关于轨迹的一般研究，在这种研究是古希腊人没做到的。1629年他写了一本《平面和立体的轨迹引论》（1679年发表），书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法。费尔马的坐标几何研究怎样产生的，我们不知道，很可能把阿波罗尼的结果，直接翻译成代数的形式。他考虑任意曲线和它上面的一般点J，J的位置用A、E两个字母定出：A是从原点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离。它所用的坐标，就是我们现在的斜坐标。但是Y轴没有明白出现，而且不用负数，它的A，E就是我们现在的X,Y.费尔马把他的一般原理，叙述为“只要在最后的方程里出现两各未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端描绘出一条直线或曲线。”前文中对不同位置的E,其末端J,„„就把“线”描出，它的未知量A和E，实际是变数。或者可以说，联系A和E的方程是不定的。他写出联系A、E的各种方程，并指明它们所描绘的曲线。例如，他给出方程（用我们现在的写法就是）d x = b y，并指出这代表一条直线。他又给出d(a-x)= b y,并指出它也表示一条直线。方程p2-x2 = y2代表一个圆。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一条双曲线，x2 = ay代表一条抛物线，而且费尔马确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论：一个联系着A、E的方程，如果是一次的就代表直线，如果是二次的就代表圆锥曲线。笛卡尔，首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人、第一流的物理学家，同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师。笛卡尔大学毕业后去巴黎当律师，在那里他花了一年的时间，跟两位神甫一起研究数学。其后九年中，他曾在几个军队中服役，但他一直研究数学。在荷兰布莱达地方的招贴牌有一个挑战性的问题，被他解决了。这使他自信有数学才能，从而开始用心于数学。回到巴黎后，他为望远镜的威力所激动，又一心钻研光学仪器的理论和构造。1682年他32岁时移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，写出了著名的作品。1649年他被邀请去做瑞典女皇的教师，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四岁。1637年笛卡尔写的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书出版，这是一本文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：《几何》、《折光》和《陨星》。《几何》是他所写的唯一一本数学书，他关于坐标几何的思想，就包括在它的这本《几何》中。笛卡尔的其他著作有《思想的指导法则》，《世界体系》，《哲学原理》，《音乐概要》。笛卡尔是通过三个途径来研究数学的，作为一个哲学家，他把数学方法看作是在一切领域建立真理的方法来研究。作为自然科学的研究者，它广泛地研究了力学、水静力学、光学和生物学等各个方面，它的《几何》的一部分和《折光》都是讲光学的。作为一个关心科学用途的人，他强调把科学成果付之应用。在这一点上，他同希腊人明白地公开决裂。由于他注意到数学的力量，他就是要去寻找数学的用途。他不推崇纯粹数学，他认为数学不是思维训练，而是一门建设性的有用科学。他认为把数学方法用到数学本身是没有价值的，因为这不算是研究自然。那些为数学而搞数学的人，是白费精力的盲目研究者。笛卡尔对当时几何和代数的研究方法进行了分析和比较，他认为没有任何东西比几何图形更容易印入人的脑际了。因此用这种方式表达事物是非常有益的，但他对欧几里德几何中的每一个证明都要求某种新的往往是奇巧的想法，这一点深感不安。他还批评希腊人的几何过多地依赖于图形。他完全看到了代数的力量，看到他在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性，以及它把程序机械化和把解题工作量减小的价值。他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他对当时通行的代数也加以批评，说它完全受公式和法则的控制，不像一门改进思想的科学。因此它主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。它所作的工作就是把代数用到几何上去。在这里，他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识，就组成了联合力量，于是就产生了它的《几何》一书。在《几何》一书中，他开始仿照韦达(Vjeta)的方法，用代数解决几何作图题，后来才逐渐出现了用方程表示曲线的思想。在《几何》第一卷的前一半中，笛卡尔用代数解决的只是古典的几何作图题，这只不过是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义下的解析几何。下一步，笛卡尔考虑了不确定的问题，其结果可以有很多长度作为答案。这些长度的端点充满一条曲线。他说：“也要求发现并描出这条包括所有端点的曲线”。曲线的描出，根据于最后得到的不定方程，笛卡尔指出：对于每一个x，长度y满足一个确定的方程，因而可以画出。笛卡尔的做法，是选定一条直线作为基线，以点Ａ为原点，x值是基线上从Ａ量起一个线段的长度。y是由基线出发与基线作成一个固定角度的一个线段的长度。这个坐标系我们现在叫作斜角坐标系。笛卡尔的x、y只取正值，即图形在第一象限内。有了曲线方程的思想之后，笛卡尔进一步发展了它的思想。
1、曲线的次数与坐标轴的选择无关。2、同一坐标系中两个曲线的方程联立，可解出交点。3、曲线概念的推广，古希腊人说平面曲线是可以用直尺和圆规画出的曲线，而笛卡尔则排斥了这种认为只有用直尺和圆规画出的曲线才是合法的思想，他提出，那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程表示出的曲线，都是几何曲线。这样，例如蔓叶线（x3+y3-3a xy=0）和蚌线都被承认是几何曲线，其他如螺线等，笛卡尔称之为机械曲线
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