福州艺术生文化培训全封闭特训届高考数学 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件_高考数学艺术生训练卷

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1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．

答案：C

2．已知命题p：∃n∈N,2＞1 000，则綈p为()．

A．∀n∈N,2≤1 000

C．∃n∈N,2≤1 000nnnB．∀n∈N,2＞1 000 D．∃n∈N,2＜1 000 nn

解析 特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则綈p：∀x∈M，綈p(x)．故选

A.答案 A

3．命题“若－1＜x＜1，则x＜1”的逆否命题是()

A．若x≥1或x≤－1，则x≥1

B．若x

C．若x>1，则x>1或x

D．若x≥1，则x≥1或x≤－1

解析：若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q则綈p”，故此命题的逆否命题是“若x≥1，则x≥1或x≤－1”．

答案：D

4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的()．

A．充分不必要条件

C．充要条件B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 222222

1解析(特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝sin 2

60°＝3sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满2

足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．

答案 D

【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析：否命题是既否定题设又否定结论． 答案：B

6．设集合M＝{1,2}，N＝{a}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a＝1或a

＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件． 答案：A

7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)a＋b－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()． A．必要而不充分的条件C．充要条件

B．充分而不必要的条件 D．既不充分也不必要的条件

解析 若φ(a，b)＝0，即a＋b＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)a2＋b2－a－b＝b2－b＝0.故具备必要性．故选C.答案 C

二、填空题

8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______

142,3

 答案：

9．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；(2)“若a＞b，则a＞b”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x＋x－6＞0”的否命题． 其中真命题的个数为________(填序号)．

解析(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假． 答案 1

10．定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数． 根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．

0，x∈解析 设D＝(－1,1)，f(x)＝

x，x∈x，x∈g(x)＝

0，x∈

2－1，0]，0，1，－1，0]，0，1，显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D上的零函数，但f(x)与

g(x)都不是D上的零函数．

答案 充分不必要

11．p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“a·b>0”的________条件． 解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝可得cos θ＝

a·b，即a·b>0；由a·b>0

|a|·|b|

a·b，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件．

|a|·|b|

答案：充分不必要

12．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p1：|a＋b|＞1⇔θ∈0，p2：|a＋b|＞1⇔θ∈



2π 3

2π，π



3

π

p3：|a－b|＞1⇔θ∈0，



p4：|a－b|＞1⇔θ∈π



其中真命题的个数是____________．

π

3122

解析 由|a＋b|＞1可得a＋2a·b＋b＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·bθ

212π2π222

∈0，.当θ∈0，时，a·b＞－，|a＋b|＝a＋2a·b＋b＞1，即|a＋b|＞1，332122

故p1正确．由|a－b|＞1可得a－2a·b＋b＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b，故

πθ∈，π，反之也成立，p4正确． 3

答案 2

三、解答题

|xa|

q:loga21f(x)2p13.设：函数在区间（4，+∞）上单调递增；，如果“p”

是真命题，“p或q”也是真命题，求实数a的取值范围。

|xa|

p:f(x)2解析：在区间（4，+∞）上递增，u|xa|在（4，+∞）上递增，故a4.„„„„（3分）

q:由loga21logaa0a1或a2.„„„„（6分）

如果“p”为真命题，则p为假命题，即a4.„„„„（8分）又因为p或q为真，则q为真，即0a1或a2

0a1或a2

a4由可得实数a的取值范围是a4.„„„„（12分）

14．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋

f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0为真命题．

用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0为真命题．

因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a＋b≥0,∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 所以逆否命题为真．

15．判断命题“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 法一 写出逆否命题，再判断其真假． 原命题：若a≥0，则x＋x－a＝0有实根． 逆否命题：若x＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：

∵x＋x－a＝0无实根，1

∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜0，∴“若x＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题． 法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断 ∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x＋x－a＝0有实根，故原命题“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”为真． 又∵原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题． 法三 利用充要条件与集合关系判断． 命题p：a≥0，q：x＋x－a＝0有实根，∴p：A＝{a∈R|a≥0}，22

222

q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝a∈R|a≥－.



14

即A⊆B，∴“若p，则q”为真，∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真． ∴“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．

x－x－6≤0，22

16．设p：实数x满足x－4ax＋3a

x＋2x－8>0.

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)由x－4ax＋3a

当a＝1时，解得1

x－x－6≤0由2

x＋2x－8>0，得2

若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是20时，A＝(a,3a)；

q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，a

a≤2，所以当a>0时，有

3

解得1

当a

综上所述，实数a的取值范围是1

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