高等数学(同济第六版)课后习题答案1.3_高数同济6版课后答案

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习题1

31 根据函数极限的定义证明

(1)lim(3x1)8x3

分析 因为

|(3x1)8||3x9|3|x3|

所以要使|(3x1)8|  只须|x3|13

证明 因为0 1 当0|x3|时 有 3

|(3x1)8| 

所以lim(3x1)8x3

(2)lim(5x2)12x

2分析 因为

|(5x2)12||5x10|5|x2|

所以要使|(5x2)12|  只须|x2|1

5证明 因为 0  当0|x2|时 有|(5x2)12| 

所以lim(5x2)12x215

2(3)limx44x2x2

分析 因为

22x4x4x4|x2||x(2)|(4)x2x2

2x4(4) 只须|x(2)|所以要使x2

证明 因为 0  当0|x(2)|时 有

2x4(4)x2

2x44所以limx2x2

314x2(4)lim12x1x分析 因为

314x2|12x2|2|x(1|2x12

314x所以要使2 只须|x(1)|12x122

证明 因为 0 1 当0|x(1|时 有 22

314x22x

1314x2所以lim

x2x12

2 根据函数极限的定义证明

31(1)lim1xx2x2

分析 因为

311x3x311x2x322x32|x|3

31x1 只须1 即|x|1所以要使2x22|x|3证明 因为 0 X1 当|x|X时 有 31x1322x

31所以lim1xx2x32

(2)limsinx0x分析 因为

x|1x0|sinsinxxx

所以要使sinx0 只须1 即x1

2xx

证明 因为0 X1 当xX时 有 2

x0sin

x

所以limsinx0xx

3 当x2时yx24 问等于多少 使当|x2|

要使

|x24||x2||x2|5|x2|0001只要|x2|0.0010.00025

取00002 则当0|x2|时 就有|x24|0 001

2x4 当x时 y211 问X等于多少 使当|x|X时 |y1|001? x3

2x解 要使211240.01 只要|x|43 故X0.01x3x3

5 证明函数f(x)|x|当x0时极限为零

证明 因为

|f(x)0|||x|0||x||x0|

所以要使|f(x)0| 只须|x|

因为对0  使当0|x0| 时有

|f(x)0|||x|0|

所以lim|x|0x0

|x|6 求f(x)x, (x)当x0时的左﹑右极限 并说明它们在x0时的极xx

限是否存在

证明 因为

limf(x)limxlim11x0x0xx0

limf(x)limxlim11x0x0xx0

limf(x)limf(x)x0x0

所以极限limf(x)存在x0

因为

|x|limx1x0x0xx0x

|x|x1lim(x)lilix0x0xx0xlim(x)lim

(x)lim(x)limx0x0

所以极限lim(x)不存在x0

7 证明 若x及x时 函数f(x)的极限都存在且都等于A 则xlimf(x)A

xx证明 因为limf(x)A limf(x)A 所以>0

X10 使当xX1时 有|f(x)A| 

X20 使当xX2时 有|f(x)A| 

取Xmax{X1 X2} 则当|x|X时 有|f(x)A|  即limf(x)Ax

8 根据极限的定义证明 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

证明 先证明必要性 设f(x)A(xx0) 则>0 0 使当0

|f(x)A|

因此当x0

|f(x)A|

这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A 

再证明充分性 设f(x00)f(x00)A 则>0

1>0 使当x01

2>0 使当x0

取min{1 2} 则当0

即f(x)A(xx0)

9 试给出x时函数极限的局部有界性的定理 并加以证明

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

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