实变函数与泛函分析教学大纲_实变函数与泛函分析
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实变函数与泛函分析教学大纲
Functions of Real Variables and Functional Analysis
一、基本信息
适用专业：信息技术专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4 课程性质：专业核心课
开课系部：数学与计算机科学院 使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版 曹广福.高等教育出版社 参考书
[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍
《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。
三、考试形式
考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配
第一章 集合与点集 要求
1、掌握集合的势，可数集
2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理
主要内容
集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理
重点
集合的势，可数集 课时安排（4学时）
1、集合的势，可数集
2学时
2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理
2学时
第二章 Lebesgue测度 要求
1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质
2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造
3、熟练掌握可测函数的收敛性
主要内容：
Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性
重点
外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性 课时安排（12学时）
1、外测度、可测集以及它们的性质
4学时
2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造
4学时
3、可测函数的收敛性
4学时
第三章
Lebesgue积分 要求：
1、熟练掌握可测函数的积分及性质
2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件
3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理
主要内容：
可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理
重点
可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理 课时安排：（16学时）
1、可测函数的积分及性质
6学时
2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件
6学时
3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理
4学时
第四章
L空间 要求：
1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性
2、熟悉L空间的内积，标准正交基
3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：
p
Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换
重点
Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性 课时安排（10学时）
1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性
4学时
2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法
4学时
3、卷积与Fourier变换
2学时 pp
第五章 Hilbert空间理论 要求：
1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理
2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性
3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱
主要内容：
距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。课时安排（16学时）
空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投
1、距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理
4学时
2、Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性
6学时
3、共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱 6学时
第六章 Banach空间理论 要求：
1、掌握Banach空间的定义，模等价，有界线性算子
2、熟悉开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理
3、熟悉连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach定理
4、弄清弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性
主要内容：
范数、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子，开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理，Hahn-Banach定理，弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性
重点
Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛
课时安排（14学时）
1、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子
4学时
2、开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理
6学时
3、连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach
4学时
《实变函数与泛函分析》考试大纲
院 系：数学与计算机科学学院
课程名称：实变函数与泛函分析（第二学期）使用专业：数学与信息科学专业
学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0 学 分：4
一、设课目的：
《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力.二、课程教学内容和教学目标：
通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基本概念、基本原理，使学生较好的掌握集合论基础、Lebesgue测度与Lebesgue积分、线性赋范空间与Hilbert空间的基本理论和有界线性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：
本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试
（一）形成性考核
形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。
学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。
（二）课程期末考试
期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：集合的势，可数集；外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性；可测函
p数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理；L空间的范数、完备性、收敛性、可分性；距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱；Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛.四、考核的组织：
本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。
五、教材
[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；
[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.六、其他有关说明或要求
