高三数学(理)总复习金版教程《高效作业》带详解答案132_金版教程化学答案详解

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选考内容第13章第2节

一、填空题

1．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为________，最小值为________．答案：5 －

5解析：由柯西不等式知

(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，∴(a＋2b)2≤5×5＝25，∴－5≤a＋2b≤5.22．已知关于x的不等式2x7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为x－a

________．

3答案：

2解析：2x＋

222＝2(x－a)＋＋2a≥ x－ax－a232x－a＋2a＝2a＋4≥7，∴a2x－a

3．若2x＋3y＝1，则4x2＋9y2的最小值为________．

1答案：2

1解析：由柯西不等式(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4，∴4x2＋9y2≥.2

2x3y当且仅当＝，即2x＝3y时取等号． 22

2x＝3y由2x＋3y＝1 x＝4，得1y＝61，1于是4x2＋9y2的最小值为.2

4．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝25，则a2＋2b2＋c2的最小值为________．答案：8

解析：由柯西不等式，得：(a2＋2b2＋c2)[12＋(222)＋1]≥(a＋b＋c)2，∵a＋b＋c＝5，2

5∴(a2＋2b2＋c2≥(25)2，∴a2＋2b2＋c2≥8，2

a2bc当且仅当＝，12

15即a＝2b＝c＝时，a2＋2b2＋c2取最小值8.5

5．已知x2＋4y2＋kz2＝36(其中k>0)，且t＝x＋y＋z的最大值是7，则k＝________.答案：9

11解析：由柯西不等式[x2＋(2y)2＋kz)2]·[1＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，因t＝x＋y＋z的2最大值是7，且x2＋4y2＋kz2＝36，所以k＝9.y6．设(x－3)2＋(y－3)2＝6，则________． x

答案：3＋22

y解析：设k＝，则kx－y＝0，应用柯西不等式． x

[(x－3)2＋(y－3)2]·[k2＋(－1)2]≥[k(x－3)－(y－3)]2＝(3－3k)2，即6(k2＋1)≥(3－3k)2.解得3－22≤k≤3＋22.∴kmax＝3＋2.7．已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，则a＋1＋b＋1＋c＋1的最大值为________．

答案：2解析：∵a、b、c∈R，∴(a＋1＋b＋1c＋1)2＝(a＋1×1＋b＋1×1c＋1＋

×1)2≤[(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)]×(1＋1＋1)＝12，∴a＋1b＋1c＋1≤3的等号成立时，a＋1b＋1c＋11＝，∴a＝b＝c11132k＋111118．用数学归纳法证明(1＋)(1＋)…(1＋)>(k>1)，则当n＝k＋1时，35722－1左端应乘上________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是________． 111－答案：(1＋)…(1＋ 2k1 2＋12＋32－

11解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1＋，最后一个是(1＋2＋1

1－－，共有2k－2k1＝2k1项． 2－1＋an＋bna＋bn9．用数学归纳法证明≥((a，b是非负实数，n∈N)时，假设n＝k命题成立2

2之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________．

a＋b答案：两边同乘以 2

a＋ba＋bk＋1＋＋解析：要想办法出现ak1＋bk1，两边同乘以，右边也出现了要求证的().22

二、解答题

10．若n∈N*，Sn＝1·2＋2·3＋…＋nn＋1，nn＋1n＋12求证：Sn

2证明：∵x∈N*，∴n(n＋1)>n2.nn＋1∴Sn>1＋2＋…＋n＝2

n＋n＋12n＋11又nn＋1

111∴Sn

＝nn＋1n22

n2＋2nn＋12＝