高考不等式解题详解_高考不等式解题方法

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高考数学不等式解法

不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。

一、知识整合1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰.2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结

合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用.3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.证明不等式的方法多样,内容丰富、技巧性较强.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的.6.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利

用不等式解应用题的基本步骤:1.审题,2.建立不等式模型,3.解数学问题,4.作答。

7.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解,。

2.解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录活运用。

3.不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的基础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

4.根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。

1.常用不等式：

（1）a,bR

ab2ab

ab

2

(当且仅当a＝b时取“=”号)．(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）a,b

R

（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）ababa

2.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；

如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).3.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 xax2

a2

axa.xax2a2

xa

或x

4.无理不等式： f(x)0（1



g(x)0

.

f(x)g(x)f(x)0

（2

g(x))0或f(x)0g(x

.f(x)[g(x)]2

g(x)0f(x)0（3g(x)

g(x)0

.

f(x)[g(x)]25.指数不等式与对数不等式

(1)当a>1时,af(x)ag(x)

f(x)g(x);

f(x)0loga

f(x)log

ag(x)g(x)0

.

f(x)g(x)(2)当0

a

g(x)

f(x)g(x);

f(x)0loga

f(x)log

ag(x)g(x)0



f(x)g(x)6.特殊数列的极限

0|q|1（1）limqn

q1

n

1.

不存在|q|1或q1

0(kt)（2）klimak1

knak1na0nbtt1

at

(kt).tnbt1nb0bk



不存在(kt)（3）S

lim

a11qn



a1无穷等比数列n

1q



1q

（Sa1qn1的(|q|

和）.7.abicdi

ac,bd

.（a,b,c,d∈R）

8.复数z=a+bi的模（或绝对值）

9.复数的四则运算法则

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)(abi)(cdi)10.集合关系：

acbdcd

.

bcadcd

i(cdi0)

.ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

11.平面两点间的距离公式

d

A,B

=|AB|



(A(x1,y1)，B(x2,y2)).12.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b≠0，则 a∥bb=λa 

x1y2x2y10.x1x2y1y20.a⊥b(a≠0)a·b=0点,λ



是实数，且P1PPP2

13.线段的定比分公式设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分，则）.x1x2xOP1OP211

OPOPtOP1(1t)OP2（t

11yy1y2

1

14.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G（x1x2x3,y1y2y3).''xxhxxh''

OPOPPP15.点的平移公式 '

'

yykyyk

'

P(x,y)，且PP

'

'

'

(图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F′上的对应点为的坐标为（h，k）).（注：只需记住前一个关系）

第二讲 不等式的解题方法

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