【沪科版】学年九年级数学上册：23.2 第2课时 仰角与俯角问题2_中学生学习报沪科数学
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23.2 解直角三角形及其应用 第2课时
仰角与俯角问题
教学目标 【知识与技能】
使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.【过程与方法】
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.【情感、态度与价值】
使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点 【重点】
将实际问题转化为解直角三角形问题.【难点】
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.教学过程
一、创设情境,导入新知
教师多媒体课件出示:
南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长? 追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢? 教师带领学生看题目.二、共同探究
师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?
生:能.教师找一生回答.量:你能求出第二根钢索的长吗? 生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.教师多媒体课件出示:
操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出? 生:能.师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?
生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.师:对,那你知道小明是怎么算的吗? 学生思考,交流.生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.三、继续探究,层层推进
1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;
(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊? 生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.2.练习新知.教师多媒体课件出示:
(1)如图,∠C=∠DEB=90°,FB∥AC,从A看D的仰角是
;从B看D的俯角是
;从A看B的 角是
;从D看B的 是
;从B看A的角是
.师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗? 生:能.教师找一生回答,然后集体订正得到:
从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠FBD,从A看B的仰角是∠BAC,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.教师多媒体课件出示:
(2)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,求乙楼的高CD.学生看题思考.师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?
生:因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以过A作AE∥BD,即有AE⊥BD,得到 Rt△ACE和Rt△ADE,确定仰角和俯角.已知AB=24米,可知DE=24米,可求出AE,进而求出CE.教师作图.师:然后怎样做呢?
老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:在Rt△AEC中,∠AEC=90° ∠EAC=α=30°.∵tanα==,∴CE=8tanα=8×tan30°=8×=8(米).∴CD=CE+DE=24+8=32(米).四、例题讲解
【例1】 如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6 m,问树高AB为多少米?(精确到0.1 m)
解:在Rt△ACD中,∠ACD=52°,CD=EB=8 m.由tan∠ACD=,得
AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°=8×1.2799≈10.2(m).由DB=CE=16 m得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m).答:树高AB为11.8 m.【例2】 解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m)
解:设AB1=x m.在Rt△AC1B1中,由∠AC1B1=45°, 得C1B1=AB1.在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得 tan∠AD1B1==, 即 =.解方程,得x=25(+1)≈68.∴AB=AB1+B1B≈68+1=69(m).答:电视塔的高度为69m.五、巩固提高
师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.老师多媒体课件出示题目:
1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是()
A.250 m B.250 m C.m D.250 m 【答案】A
2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°,已知水平距离BD=10 m,楼高AB=24 m,则树CD的高度为()
A.(24-)m
B.(24-10)m C.(24-5)m D.9 m 【答案】B
3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为
.(精确到0.1米)
【答案】15.4米
4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之
间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.【答案】1248米
5.如图,为测量某塔AB的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7)
【答案】35.5米
六、课堂小结
师:本节课,我们学习了什么内容? 学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗? 学生提问,教师解答.教学反思
多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.
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