中考数学真题解析80平行四边形的性质(含答案)_中考数学真题解析
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2011中考数学真题解析80平行四边形的性质(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 平行四边形的性质
一、选择题
1.（2011江苏苏州，12，3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点0．若AC=6，则线段AO的长度等于_______．
考点：平行四边形的判定与性质． 专题：计算题．
分析：根据在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．
解答：解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=6，∴AO= AC= ×6=3． 故答案为：3．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
2.（2011广州，2，3分）已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）
A.4
B.12
C.24
D.28
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【考点】平行四边形的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长是32，∴2（AB+BC）=32，∴BC=12． 故选B．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
3.（2011湖南常德，12，3分）在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D的坐标为（）
A．（7，2）
B.（5，4）
C.（1，2）
D.（2，1）
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质。
分析：首先根据题意作图，然后由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标． 解答：解：如图：
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∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），∴顶点D的坐标为（1，2）． 故选C．
点评：此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
4.（2011广西防城港
5，3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1＝（）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
考点：平行四边形的性质
角平分线定义 专题：四边形
分析：：根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．由AD∥BC，∠B＝80°得∠BAD＝180°－∠B＝100°．由AE平分∠BAD得∠DAE＝ ∠BAD＝50°，从而∠AEB＝∠DAE＝50°．由CF∥AE，得∠1＝∠AEB＝50°． 解答：B 点评：此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，属于基础题型．
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5.（2011?玉林，5，3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（）
A、40° B、50°
C、60°
D、80°
考点：平行四边形的性质。
分析：根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．
解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠BAD=180°﹣∠B=100°． ∵AE平分∠BAD ∴∠DAE= ∠BAD=50°． ∴∠AEB=∠DAE=50° ∵CF∥AE ∴∠1=∠AEB=50°． 故选B．
点评：此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，属于基础题型．
6.（2011?黔南，11，4分）将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A、1种 B、2种
C、4种
D、无数种
考点：平行四边形的性质。专题：操作型。
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分析：根据平行四边形的中心对称性，可知这样的折纸方法有无数种． 解答：解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种． 故选D．
点评：此题主要考查平行四边形是中心对称图形的性质．平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
7.（2011浙江嘉兴，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）
A．48cm
B．36cm
C．24cm
D．18cm 考点：菱形的性质；平行四边形的性质． 专题：计算题．
分析：根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和． 解答：解：由题意得：⑤的面积=四边形ABCD面积（①+②+③+④）
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=4cm2，∴EFGH的面积=14+4=18cm2，又∵∠F=30°，∴菱形的边长为6cm，而①②③④四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm． 故选A．
点评：本题考查了菱形的性质及平行四边形的知识，难度较大，关键是求出菱形的面积，解答本题需要用到平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
8.（2011邵阳，7，3分）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不
正确的是（）A.AC⊥BD
B.AB=CD
C.BO=OD
D.∠BAD=∠BCD 考点：平行四边形的性质.专题：证明题.分析：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，对角线互相平分，两组对角分别相等，由此判断出选项B、C、D正确．再由平行四边形对角线互相平分可知OB=OD，利用反证法假设AC垂直BD，再加上一条公共边，得到两个三角形的全等，由全等三角形的对应边相等得出AB=AD，与已知AB≠AD矛盾，故AC不能与BD垂直，所以判断出选项A错误．
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解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，则选项B正确；又根据平行四边形的对角线互相平分，∴BO=OD，则选项C正确；又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAD=∠BCD，则选项D正确；由BO=OD，假设AC⊥BD，又∵OA=OA，∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD与已知AB≠AD矛盾，∴AC不垂直BD，则选项A错误．故选A． 点评：本题要求学生对平行四边形性质的熟练掌握及应用，会用反证法进行证明，是一道中档题．
二、填空题
1.（2011湖北潜江，15，3分）已知□ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F．若AE＝3，AF＝4，则CE—CF＝ 14—7 或2—（答对前者得2分，答对后者得1分）． 考点：平行四边形的性质。专题：计算题。
分析：连接AC．设EC＝x，FC＝y，AD＝z．在直角△AEC和直角△AFC中根据勾股定理求得16＋y2＝9＋x2；由平行四边形的对边相等求得等式 ＋x＝ ；再根据平行四边形的周长计算公式求得等式z＋x＋ ＝14；联立三个等式，解得x—y的值即可． 解答：解：连接AC．设EC＝x，FC＝y，AD＝z． ∵AE⊥DC，AF⊥BC，∴△AEC和△AFC都是直角三角形；
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又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD． ∴根据题意，得，解得，x—y＝14—7 或x—y＝2— ； 故答案是：14—7 或2— ．
点评：本题主要考查的是平行四边形的性质．解题时，还借用了勾股定理这一知识点．
2.（2011?青海）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 开放型题，答案不唯一（参考答案：O是AD的中点或OA=OD；AB=DE；D是CE的中点；O是BE的中点或OB=OE；或OD是△EBC的中位线）（只需一个即可，图中不能添加任何点或线）
考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质。专题：开放型。
分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DE，所以∠ADE=∠BAD，又对顶角∠AOB=∠DOE，若使△ABO≌△DEO则少一对边相等，所以可添加的条件为O是AD的中点或OA=OD；AB=DE；D是CE的中点；O是BE的中点或OB=OE；或OD是△EBC的中位线）
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解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADE=∠BAD，∵O是AD的中点，∴OA=OD，又∵∠AOB=∠DOE，∴△ABO≌△DEO（ASA）．
故答案为：O是AD的中点或OA=OD．
点评：本题考查了全等三角形的判定，常见的判断方法有5中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3.（2011?临沂，18，3分）如图，?ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为 6 ．
考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB=AE，所以BC=2AF，若CF平分∠BCD，可证明AE=AF，从而可求出结果． 解答：解：∵若CF平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCF，∵AD∥BC，精心收集
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∴∠BCE=∠DFC，∴∠BCE=∠EFA，∵BE∥CD，∴∠E=∠DCF，∴∠E=∠EFA，∴AE=AF=AB=3，∵AB=AE，AF∥BC，∴BC=2AF=6． 故答案为：6．
点评：本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，以等腰三角形的判定和性质．
4.（2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。专题：计算题。
分析：根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，根据平行线的性质得到∠HCB=∠B=60°，根据三角形的内角和定理求出∠FEB=∠CEH=30°，根据勾股定理求出BF、CH、EF、EH的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．
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.演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案
解答：解：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∵EF⊥AB，∴EH⊥DC，∠BFE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠HCB=∠B=60°，∴∠FEB=∠CEH=180°﹣∠B﹣∠BFE=30°，∵E为BC的中点，∴BE=CE=2，∴CH=BF=1，由勾股定理得：EF=EH=
∴⊿DFH面积= FH×DH=4 ,所以△DEF的面积是2 ．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 5.（2011广东珠海，9，4分）在 ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则 ABCD的周长为
cm． 考点：平行四边形的性质 专题：四边形
分析：根据平行四边形的对边相等得CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，所以
ABCD的周长为6＋6＋8＋8＝28（cm）．
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解答：28 点评：平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，的对角线互相平分等，经常是求四边形中的线段和周长首选的目标． 6.（2011广西来宾，14，3分）在中，已知∠A=110°，则∠D=
．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质。专题：计算题。
分析：根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∵∠A=110°，∴∠D=70°． 故答案为：70．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质推出∠A+∠D=180°是解此题的关键． 7.（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，15，3分）已知□ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F.若AE=3，AF=4，则 CE-CF=
.考点：平行四边形的性质．
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分析：连接AC．设EC=x，FC=y，AD=z．在直角△AEC和直角△AFC中根据勾股定理求得16+y2=9+x2；由平行四边形的对边相等求得等式
= ；再根据平行四边形的周长计算公式求得等式z+x+ =14；联立三个等式，解得x-y的值即可．
答案：
解：连接AC．设EC=x，FC=y，AD=z． ∵AE⊥DC，AF⊥BC，∴△AEC和△AFC都是直角三角形； 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD． ∴根据题意，得
解得，x-y=14-7 或x-y=2-； 故答案是：14-7 或2-．
点评：本题主要考查的是平行四边形的性质．解题时，还借用了勾股定理这一知识点．
8.（2011辽宁沈阳，14，4）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是 45 度．
考点：平行四边形的判定与性质。
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，精心收集
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即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠EDF＝∠EBF＝45°． 故答案为：45．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质．注意平行四边形的对角相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
9.（2011?丹东，11，3分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有 3 对．
考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。专题：证明题。
分析：根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，则△EFD∽△EBC，AB∥CD，得△EFD∽△BFA，从而得出△ABF∽△CEC． 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥BC，AB∥CD，∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，∴△ABF∽△CEC． 共3对．
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故答案为3．
点评：本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．
三、解答题
1.（2011江苏淮安，20，8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，∠1=∠2.求证：△ABE≌△CDF.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定。专题：证明题。
分析：利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∴在：△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键． 2.（2011江苏无锡，21，8分）如图，在?ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF．
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考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。
分析：先由平行四边形的性质得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加上已知∠BAE=∠DCF可推出△ABE≌△DCF，得证． 解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，又已知∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=DF．
点评：此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等．
3.（2011四川凉山，20，7分）如图，是平行四边形 的对角线 上的点，请你猜想：线段 与线段 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：利用平行四边形的性质和平行线的性质可以得到相等的线段和相等的角，从而可以证明△BCE≌△DAF，进而证得结论．
解答：猜想：
.证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
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∴，∥
∴
在 和
∴ ≌
∴，∴ ∥，即
.点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，本题的难点在于第一步的猜想，学生在解题时往往只考虑一种关系． 4.（2011云南保山，18，8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
考点：菱形的判定；角平分线的性质；平行四边形的性质。分析：首先根据定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到∠DAC=∠CAE，然后证明∠DAC=∠DCA，可得到DA=DC，再根据菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，进而可得到结论． 解答：解：是菱形．
理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠CAE，精心收集
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∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形．
点评：此题主要考查了菱形的判定，证明∠DAC=∠DCA是解此题的关键．
5.（2011?河池）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O．
（1）过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于H；
（2）在（1）的图中，找出一个与△BHF全等的三角形，并证明你的结论．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：计算题。
分析：（1）根据平行线的作法，即可作出BG，再延长EF即可，如图；（2）根据图可得出△BHF≌△COF，由AC∥BH，得∠FBH=∠FCO，再由BF=CF，得出结论即可． 解答：解：（1）如图：
（2）结论：△BHF≌△COF．
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理由是：∵AC∥BH，∴∠FBH=∠FCO，又∵BF=CF，∠BFH=∠CFO，∴△BHF≌△COF（ASA）．
点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
6.（2011?贺州）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：BE=DF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。
分析：先证BC=AD，ACB=DAC，∠CEB=∠AFD，根据AAS证出△BEC≌△DFA，从而得出BE=DF．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD，…（2分）∴∠ACB=∠DAC，…（3分）∵BE∥DF，∴∠BEC=∠AFD，…（4分）∴△CBE≌△ADF，…（5分）∴BE=DF．…（6分）
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 7.（2011山东青岛，21，8分）在?ABCD中，E、F分别是AB．CD的中点，连接AF、CE．
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（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质。专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质推出BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，求出BE=DF，根据SAS即可推出答案；
（2）证AE∥CF，AE=CF得到平行四边形AECF，根据等腰三角形的性质求出∠AEC=90°，根据矩形的判定即可推出答案． 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，∵E、F分别是AB．CD的中点，∴BE=DF=AE=CF，在△BEC和△DFA中，BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，∴△BEC≌△DFA．
（2）答：四边形AECF是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AE=CF，精心收集
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∴四边形AECF是平行四边形，∵AC=BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的判定等知识点的理解和掌握，能求出BE=DF和平行四边形AECF是解此题的关键．
8..如图，是平行四边形 的对角线 上的点，请你猜想：线段 与线段 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题．
分析：利用平行四边形的性质和平行线的性质可以得到相等的线段和相等的角，从而可以证明△BCE≌△DAF，进而证得结论． 解答：猜想：
.证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴，∥
∴
在 和
∴ ≌
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∴，∴ ∥，即
.点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，本题的难点在于第一步的猜想，学生在解题时往往只考虑一种关系． 9.（2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝ BE．
考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系 专题：四边形
分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形，则AD＝CE＝BC，从而可知BC＝ BE，要说明DE＝ BE，只需说明DE＝BC即可． 思路二：连接BD，先证∠BDE＝90°，再证∠DBE＝30°，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）．
解答：∵ABCD是菱形，∴AD//BC，AB＝BC＝CD＝DA． 又∵∠ABC＝ 60°，∴BC＝AC＝AD． ∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形．
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∴CE＝AD＝BC，DE＝AC． ∴DE＝CE＝BC，∴DE＝ BE．
点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件．
10.（2011四川泸州，21，5分）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
考点：平行四边形的判定与性质．
分析：根据CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，求证△ADO≌△ECO，然后求证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论． 解答：线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等． 证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD ∥AE，CD =AE．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌
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握，解答此题的关键是求证△ADO≌△ECO，然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．
11.（2011四川雅安，22,9分）如图，在?ABCD中，E，F分别是BC，AD中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形．
考点：平行四边形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；锐角三角函数的定义。专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，∵E，F分别是BC，AD中点，DF= DA，BE= CB，∴DF=BE，∵AB=DC，∠B=∠D，∴△ABE≌△CDF．
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（2）证明：
过A作AH⊥BC于H，∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为，∴BE=AB=2，×EB×AH=，∴AH=，∴sinB=，∴∠B=60°，∴AB=BE=AE，∵E，F分别是BC，AD中点，∴AF=CE=AE，∵△ABE≌△CDF，∴CF=AE，∴AE=CE=CF=AF，∴四边形AECF是菱形．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
12.（2011四川省宜宾市，17，5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AF=CE，BH=DG，精心收集
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求证：AG∥HE
考点： 平行四边形的判定与性质．
分析：（3）先运用平行四边形的对角线互相平分，结合已知证明平行四边形EGHF是平行四边形，再运用平行四边形的对边互相平行得GF∥HE．
答案：(3)证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC，由已知：AF=CE
AF–OA= CE – OC ∴OF=OE
同理得：OG=OH
∴四边形EGFH是平行四边形
∴GF∥HE
点评：本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
13．(2011四川雅安22，9分)如图，在□ABCD中，E,F分别是BC，AD中点。
（1）求证：△ABE≌△CDF
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（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为，求证：四边形AECF是菱形。
考点：平行四边形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；锐角三角函数的定义。专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD, BC=AD, ∠B=∠C.∵E,F分别是BC，AD中点, ∴BE= BC,DF= AD
∴ BE=DF 又∵AB=CD, ∠B=∠C
∴△ABE≌△CDF（SAS）
（2）作AH⊥BC交BC于H，则S△ABE= BE.AH=
∴AH=
∵ BC=2AB=4 ∴AB=2 ∴sinA= /2 ∴∠A=600
∵BE=AB
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∴△ABE是等边三角形 ∴AE=BE=EC 由（1）∵BE=DF
∴AF=CE，又∵AD∥BC
∴四边形AECF是平行四边形
∴四边形AECF是菱形
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
14.（2011福建龙岩，20，10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．求证：AE=CF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.分析：根据角平分线的性质先得出∠BEC=∠DFA，然后再证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE=AF． 解答：证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠ACB=∠CAD．
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，∴∠BEC=∠ABE+BAE=∠FDC+∠FCD=∠DFA，∴△BEC≌△DFA，∴CE=AF．
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点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后想法证明两三角形的全等．
15.（2011浙江台州，19，8分）如图，分别延长?ABCD的边BA．DC到点E．H，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD．BC于点F．G． 求证：△AEF≌△CHG．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定． 专题：证明题．
分析：根据平行四边形的性质可得出AE=CH，再根据平行线的性质及等角代换的原理可得出∠E=∠H，∠EAF=∠D，从而利用ASA可作出证明．
解答：证明：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴∠E=∠H，∠EAF=∠D，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠HCG，∵AE=AB，CH=CD，∴AE=CH，∴△AEF≌△CHG（ASA）．
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的证明，属于基础题，解答本题的关键根据平行线的性质得出等角，然后利用全等三角形的判定定理进行解题．
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16.（2011浙江义乌，18，6分）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．
考点：平行四边形的性质；垂线；平行线的性质；全等三角形的判定。专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，推出∠BAE＝∠FCD，根据垂直的定义得到∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS即可得到答案；
（2）根据SSS得到△ABC≌△CDA，根据SAS得到△BCE≌△DAF． 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF（AAS）．
（2）答：△ABC≌△CDA，△BCE≌△DAF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，垂线的定义，全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，能推出证明两三角形全等的三个条件是证此题的关键．
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17.（2011梧州，22，8分）如图，在?ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。
分析：根据平行四边形的性质先证明△DEC≌△FEB，然后根据AB=CD，运用等量代换即可得出结论．
解答：解：由ABCD是平行四边形得AB∥CD，∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF． 又∵E为BC的中点，∴△DEC≌△FEB，∴DC=FB． 又∵AB=CD，∴AB=BF．
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质．
18.（2011黑龙江省哈尔滨,23，6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DF=BE．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。
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分析：根据平行四边形的对边相等得出BC=AD，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可判断出△CEB≌△AFD，利用全等三角形的性质即可得出结论．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴BC=AD，BC∥AD． ∴∠BCA=∠DAC ∵BE⊥AC，DE⊥AC． ∴∠CEB=∠AFD=90°． ∴△CEB≌△AFD ∴BE=DF．
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，属于基础题，关键是利用全等的知识证明线段的相等，这是经常用到的，同学们要注意掌握．
19.（2011?宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．（1）证明：∠DFA=∠FAB；（2）证明：△ABE≌△FCE．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。
分析：（1）利用平行四边形的两组对边分别平行即可得到两角相等；（2）利用上题证得的结论及平行四边形对边相等即可证明两三角形
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全等．
解答：证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴DF∥AB，∴∠DFA=∠FAB；（2）∵E为BC中点，∴EC=EB，∴在△ABE与△FCE中，∴△ABE≌△FCE．
点评：此题主要考查平行四边形的性质和判定以及全等三角形的证明，使学生能够灵活运用平行四边形知识解决有关问题．
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