(no.1)高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的9种方法_高中数学解析几何教研

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从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景

解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。

背景之一：题目所给的条件

利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。

x2y2例1：椭圆221ab(acb0,c为半焦距)的焦点为F1、F2，点P(x, y)为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___。

222|PF1||PF2||F1F2|解：设P(x1, y)，∠F1PF2是钝角cos∠F1PF2 =

2|PF1||PF2|0|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(xc)2y2(xc)2y24c2x2y2b22a2b22a22222222cx2(ax)cxcbx(cb)22caa22a2a2cb2xcb2。cc说明：利用∠F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：

x2y21的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标椭圆94的取值范围是__________。

（答案为 x(3535)），55梯形双曲线例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知ABCD中，AB=2CD，点E分有向线段AC所成的比为，过点C、D、E三点，且以A、B为焦点。当

23时，求双曲线离心率e的取值范围。34-1

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百度提升自我因此，点P在以M、N 为焦点，实轴长为2m的双曲线上，故

x2y2=1 22m1m②

m2(1m2)将①式代入②，解得x

15m22由xm且1m0，得15m2022255，又m0 m55∴m(55,0)(0,)55说明：P到x轴、y轴距离之比为2，所以P不能在x轴上，由此得到m0，这一隐含条件容易忽视。

x2y21的例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题文科22题）设椭圆

m1两个焦点是F1(－c, 0)与F2(c, 0)(c > 0)，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。

(1)求实数m的取值范围；

(2)设l相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于Q，若的方程。

解：(1)依题设有m＋1>1,即m > 0，c =m,设点P的坐标为(x0, y0)，由PF1⊥PF2，得

QF2|PF|23，求直线PF2y0y201x0y20m ① x0cx0c2x0m12122,y0 y01联立，解得x0将①与

mmm1由此得

m21m10m101 m1 mm0故m[1, +)

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百度提升自我(2)答案为y =(32)(x-2)(解答略)背景之三：二次方程有解的条件

直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。

y2例5：（全国高考题）给定双曲线x－= 1，过点B(1，1)能否作直线

2２l，使l与所给双曲线交于P1及P2，且点B是线段P1P2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的l不存在。

y21，得当直线l斜率存在时，设为k，则l方程为y = k(x－1)＋1，联立x22(2k2)x2(2k22k)xk22k30。

x1x22k22k1,即22k2,此时设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则2k2(2k22k)24(2k2)(k22k3)0,不满足2k20且0。

故满足已知条件的直线l不存在。

例6：（2004年湖北省高考题理科20题文科20题）直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21的右支交于不同的两点A、B。

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

22解：(1)将直线ykx1代入双曲线方程，并整理得(k2)x2kx20

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

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百度提升自我k22022(2k)8(k2)02k2 22k0k2202k2(2)答案是存在k66满足题设。5说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。

背景之四：已知变量的范围

利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。

1、双参数中知道其中一个参数的范围；

例7：（2004年浙江省高考题理科21题文科22题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1, 0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m, 0)到直线AP的距离为1。

(1)若直线AP的斜率为k，且|k|[(2)当m3,3]，求实数m的取值范围； 321时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程

解：(1)由条件知直线AP的方程为yk(x1),即kxyk0，因为点 M到直线AP的距离为1，所以

|mkk|k121|m1|k21112。|k|k∵|k|[3,3] 3∴232323|m1|21m3或1m1 3332323][1,3] 33故m[1,1(2)答案是x2(221)y21（解答略）

例8：（2004年全国高考卷Ⅱ理科21题）给定抛物线C:y4x，F是C的焦点，过点

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百度提升自我相交于不同的点A、B。

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA5PB，求a的值。12x222y1解：(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程a有两个不同的实数解，消

xy1去y并整理得：(1a2)x22a2x2a20

21a00a2且a1 由2222(2a)4(1a)(2a)01a2∴双曲线的离心率ea∵0a11 2a2且a1

∴e6且e2 26,2)(2,)2故e((2)略

说明：先求出a的范围，再建立e与a的函数关系式，即可求出e的范围。

例10：直线ykx1与双曲线x2y21的左支交于A、B两点，直线l经过点(2,0)和AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

解：由方程组ykx122xy1，消去y得：(1k2)x22kx20

设A(x1,y1),B(x2,y2),x10,x20，AB中点M(x0,y0)，则有：

4k28(1k2)02kxx01k2 1221k2xx01221k用心爱心专心

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百度提升自我∵x0x1x2k1k1,ykx1,即M(,)0021k21k21k21k2设直线l的方程为ym(xb),则b2m,而my001，则有x02k22k211172k2k22(k)2，它在(1,2)上单调递减。m4811 ∵22m∴b2m(,22)(2,)

说明：这类问题可先求出一个变量的范围，另一个变量范围就相应可求出来了。背景之五：点在圆锥曲线内域或外域的充要条件

如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外域，则点P(x0,y0)，在22x0y0x2y2椭圆221内（外）域的充要条件是221(1)；点P(x0,y0)在双曲线

abab22x0y0x2y21内（外）域的充要条件是221(1)；点P(x0,y0)在抛物线

aba2b222y22px(p0)的内（外）域的充要条件是y02px0(y02px0)。以这些充要条件为背景的范围问题利用上述不等式可获解。

x2y21，试确定m的取例11：（1986年全国高考题）已知椭圆C:43值范围，使得对于直线l:y4xm，椭圆C上有不同的两点P，Q关于该直线对称。

解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0)，则：

x12y12

14322x2y21

①

②

①－②得，3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)03(x1x2)=x4(y1y2)1y(y1y2)304()0y03x0

x1x2242用心爱心专心

③

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百度提升自我由此易知焦点F到准线y = 1的距离p的范围是1p3。

a2a23caea 又pcae2∴132a3a2 23背景之八：平均值不等式

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。利用代数基本不等式是求范围的又一方法。

例14：已知直线l过定点A(3, 0)，倾斜角为，试求的范围，使得曲线C:yx2的所有弦都不能被直线l垂直平分。

解：当直线的斜率为0或不存在时，符合题意。

2设直线l的方程为yk(x3)，被它垂直平分的弦的两端点为B(t1,t12)，C(t2,t2)，2t1t2t12t2,)(t1t2),kBCt1t2。则BC中点P(221tt12k当线段BC被l垂直平分时，有2t1t2 2tttt2121k(3)22tt1111(26k1)(12)22k。2k224k∴符合题意的直线斜率k∴[0,11,即tan。222][arctan1,)。2说明：本题的求解利用补集法，即先求弦能被l垂直平分的直线l的斜率，取其补集就是满足题设的斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，就可以求出的范围。

背景之九：目标函数的值域

要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数kf(t)，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。

x2y2例15：P(x,y)是椭圆221(ab0)上任一点，F1、F2是两个焦点，求

ab用心爱心专心

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百度提升自我(2)设直线l的方程为ykxb，依题意k0,b0,则T(0,b)，分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则

|ST||ST||OT||OT||b||b| |SP||SQ||PP||QQ||y1||y2|12yx由y22(k2b)yb20 2ykxb∴y1y22(k2b),y1y2b2 方法1：∴

①

|ST||ST|11|b|()2|b||SP||SQ|y1y2112|b|2 2y1y2b∵y1、y2可取一切不相等的正数 ∴|ST||ST|的取值范围是(2,)|SP||SQ|y1y2|ST||ST|2(k2b)方法2：∴ |b||b|2|SP||SQ|y1y2b|ST||ST|2(k2b)2(k2b)2k2当b0时，b22 2|SP||SQ|bbb|ST||ST|2(k2b)2(k2b)当b0时，b|SP||SQ|bb2又由方程①有两个相异实根，得

4(k2b)24b24k2(k22b)0，于是k22b0，即k22b

所以|ST||ST|2(2bb)2 |SP||SQ|b2k2∵当b0时，可取一切正数

k∴|ST||ST|的取值范围是(2,)|SP||SQ||ST||ST|与P、Q两点纵坐标之间的关系，是快速求解第(2)个|SP||SQ|说明：利用图形找到

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百度提升自我用心爱心专心问题的关键。

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