§4.2病人候诊问题._门诊候诊患者

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§4.2病人候诊问题

1）问题的提出

某私人诊所只有一位医生，已知来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的。若病人的到达服从泊松分布且每小时有4位病人到来，看病时间服从负指数分布，平均每个病人需要12分钟。试分析该诊所的工作状况。（即求该诊所内排队候诊病人的期望，病人看一次病平均所需的时间，医生空闲的概率等等）2）模型的准备

本题是典型的排队论问题，也是一个典型的单通道服务排队系统。排队论也称随机服务系统理论，它涉及的排队现象非常广泛：如病人候诊，顾客到商店购物，轮船入港，机器等待修理等等。排队论的目的是研究排队系统的运行效率，估计服务质量，在顾客和服务机构的规模之间进行协调，以决定系统的结构是否合理，权衡决策，使其达到合理的平衡状态。在排队论中，判断系统运行优劣的基本数量指标通常有：

（1）排队系统的队长，即指排队系统中的顾客数，它的期望值记为L。相应的排队系统中等待服务的顾客数，其期望值记为Lq。显然，L或Lq大，说明服务效率越低。

（2）等待时间，即指一顾客在排队系统中等待服务的时间，其期望值记为Wq。相应的，逗留时间是指一个顾客在排队系统中停留的时间，即从进入服务系统到服务完毕的整个时间。其期望值记为W。

（3）忙期，指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲止这段时间长度，即服务机构连续工作的时间长度。

另外还有，服务设备利用率，顾客损失率等一些指标。排队论中的排队系统有下列三部分组成：

（1）输入过程，即顾客来到服务台的概率分布。在输入过程中要弄清顾客按怎样的规律到达。

（2）排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是当服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是当服务台被占用时顾客便排队等待服务。等待制服务的次序规则有先到先服务，随机服务，有优先权的先服务等。

（3）服务机构，其主要特征为服务台的数目，服务时间的分布。服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，但通常假定服务时间的分布是平稳的。要解决这里的病人候诊问题，只要分析排队论中最简单的单服务台排队问题即可。所谓单服务台是指服务机构由一个服务员组成，对顾客进行单独的服务。下面通过对这类问题的分析和讨论来解决病人候诊问题。3）模型假设

1． 顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑出现高峰期和 空闲期的可能性。

2．排队方式为单一队列的等待制，先到先服务。队长没有限制。

3．顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间到达顾客的平均数。4．各顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，其中表示单位时间内能服 务完的顾客的平均数。

5．顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。4）模型的分析与建模

为了确定系统的状态，引入Pn(t)表示在时刻t时排队系统中有n个顾客的概率。由假设知，当t充分小时，在 [t,tt]时间间隔内：有一个顾客到达的概率为t，有一个顾客离开的概率为t，多于一个顾客达到或离开的概率为 (t)，可忽略。

在[t,tt]时刻系统内有n个顾客的状态可由下列四个互不相容的事件组成：

（1）t时刻有n个顾客，在[t,tt]内没有顾客到来，也没有顾客离开，其概 率为(1t)(1t)pn(t)；

（2）t时刻有n个顾客，在[t,tt]内有一个顾客到来，同时也有一个顾客离 开，其概率为ttpn(t)；

（3）t时刻有n-1个顾客，在[t,tt]内有一个顾客到来，没有顾客离开，其 概率为t(1t)pn(t)；

（4）t时刻有n+1个顾客，在[t,tt]内没有顾客到来，有一个顾客离开，其 概率为(1t)tpn(t)。

因此，在t+ 时刻，系统中有n个顾客得概率为pn(tt)满足：

pn(tt)pn(t)(1tt)pn1(t)tpn1(t)t(t)pn(tt)pn(t)(t)pn1(t)pn1(t)()pn(t)tt

令t0,得

dpn(t)pn1(t)pn1()pn(t),n1,2,dt（n0）考虑特殊情形：

当n=0时，即在tt时刻时系统内没有顾客的状态，同理，它由以下三个互不相容的事件组成：

（1）t时刻系统中没有顾客，在[t,tt]内没有顾客来，概率为(1t)p0(t)；（2）t时刻系统中没有顾客，在[t,tt]内有一个顾客到达，接受完服务后又 离开，其概率为ttp0(t)

（3）t时刻系统内有一个顾客，在[t,tt] 内该顾客离开，没有顾客来，其概 率为(1t)tp1(t)

dp0(t)p0(t)p1(t)dt

因此就得到系统状态应服从的模型：

dp0(t)p0(t)p1(t)dtdpn(t)p(t)p(t)()p(t)n1n1n dt n1,2,

5)模型求解 为评估系统的服务质量，判断其运行特征，需要根据上面的模型求解该系统的如下运行指标：系统中平均顾客数L，系统中平均正在排队的顾客数Lq，顾客在系统中平均逗留时间W，顾客平均排队等待的时间Wq，系统内服务台空闲的概率，即顾客来后无需等待的概率p0。

所求得的模型，是有无限个方程组成的微分方程组，求解相当麻烦。在实际的应用中，我们只需要知道系统在运行了很长时间后的稳态解，即假设当t充分大时，系统的概率分布已不随时间变化，达到了统计平衡。

dpn(t)0p(t)ndt在稳态时, 与t无关, , pn(t)pn,从而得到一差分方程：

p0p10 pn1pn1()p00,n1(1)令服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称为服务强度。我们的问题求解将在

n由差分方程（1），得 pnp0 n1,2, ，它表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例，它是刻画又由概率的性质n0pn1和

11p0(n)1()11n0

np(1), n0,1,2, n从而，下面我们就可以计算出系统的一些重要运行指标。

Lnpnn(1)nn0n1（1）系统中平均顾客数L：

1=

（2）排队等待服务的顾客平均数Lq：

22Lq(n1)pn(n1)(1)1()n1n1n（3）在系统中顾客平均排队等待的时间Wq：

当一个顾客进入系统时，发现前面已有n个顾客在系统中，则他的排队平均时间为这n个顾客的平均服务时间的总和。不管该顾客到达之时，正在服务的顾客已经服务了多少时间，由于负指数分布的无记忆性，其剩余的服务依旧服从相同的指数分布。因此，当该顾客进入时系统原来有n个顾客的情况下，他等待的n平均时间为，最后得

Wqn1npn()

1（4）顾客在系统中平均逗留时间为

WWq1

对病人候诊问题，候诊的病人即为“顾客”，医生极为提供服务得人，称为“服务员”。候诊的病人和医生组成一个单服务台的排队系统。由题意知，44,5,5

L14从而，该诊所内平均有病人数为（人）

216Lq3.215该诊所内排队候诊病人的平均数为(人)

Wq排队等候看病的平均时间：

40.8()5(小时)

11看一次病平均所需的时间：

WWq(小时)

p015 诊所的医生空闲的概率，即诊所中没有病人的概率为：6)模型推广

病人候诊这类问题所涉及的是建立一类数学模型，借以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。在刚刚的建模中，我们考虑的是顾客源为无限的情形。在实际情况下，我们常考虑系统容量有限的模型（记之为模型）。这类模型，可以在模型假设中将原模型假设中的假设1中“认为顾客源无限”改为“认为排队系统的容量为N，即排队等待的顾客最多为N－1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统”，其他假设一样。

同样研究系统中有n个顾客的概率pn(t),类似可得：

'p0(t)p0(t)p1(t)'pn(t)pn1(t)pn1(t)()pn(t),n1,2,,N1

当n=N时，由同样的方法得：

'pN(t)pN1(t)pN(t)

在稳态情况下，令

，得

p1p0pn1pn1(1)pn,n1,2,,N1ppN1N

1ppp,101NN1N1np,nN,1p1nN1n1在条件n1下，解得 

这里，不用假设

Lnpnn0n0NN(1)

n,1N1

Nn(1)n(N1)N1Lnpn,1N1N111n0n01 NNN,1N2N1Lq(n1)pnL(1p0)N1Nn1,1N111(2)

(3)WL效(4)WqW1

应该指出，效是指有效到达率，它与平均到达率不同。这儿对W，Wq的导出过程中用效而不采用 主要是由于当系统已满时，顾客的实际到达率为0。又正在被服务的顾客的平均数为 n01npn0p01(1p0)1p0，又概率

1p0效1p0）, 从而效（。

把病人候诊问题修改为“某私人诊所只有一位医生，诊所内有6个椅子，当6个椅子都坐满时，后来的病人不进诊所就离开。病人平均到达率为4人/时，医生每小时可诊5个病人，试分析该服务系统。”就可以系统容量有限的模型来求解。此时,由题意知：

N7,4,5,45

从而，诊所的医生空闲的概率

p011N1450.2441()85 1平均需要等待的顾客数量为

448()8541.612.39L54411()855(人)LqL(1p0)2.39(10.24)1.63(人)有效到达率为

效（1p0）5(10.24)3.8(人/时)病人在诊所中平均逗留时间为

WL效2.390.63h37.8min3.8 7）一些注解 1.关于排队系统一般地，用G1/G2/S代表一个排队系统，其中代G1表到达顾客数服从G1分布；G2代表对每一个顾客的服务时间遵从G2分布；S代表该系统内有S个服务人员。

而该单道等待制排队系统称为M/M/1系统。其中M代表马尔可夫过程（泊松过程，负指数分布），1代表1个服务员。2 假设的依据

模型的假设3“假设顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间达到顾客的平均数”和假设5“顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的”是根据随机过程的一个结论“顾客相继到达的时间间隔独立且为负指数分布的充要条件是输入过程服从泊松分布”给出的。3 顾客流和服务时间的分布

虽然顾客流不一定只能是泊松过程，而服务时间也不只能是服从负指数分布，但一般情况下对顾客流的讨论都认为是泊松分布，而服务时间可为正态分布以及分布，只是使得分析更为复杂。

例：假设（1）顾客在[0,t]内按泊松分布规律到达服务点；（2）一个服务员；（3）服务时间为分布的随机变量，其参数为(K,)，即服务时间的概率密度为

f(t)et(t)k1(k1)!(t0)其中 K, 为常数

当然讨论这个题目时，我们可以将以(K,)为参数的分布的随机变量可以看作k个独立同负指数分布的随机变量之和，故可把本问题看成“顾客成批到达，每批k个顾客；[0,t]内到达的批数按泊松分布规律，其参数为；一个服务员，1服务时间为负指数分布的随机变量，平均服务时间为”的这样一个排队服务问题。常系数差分方程及求解方法

方程

ynkak1ynk1a1yn1a0yn0（*）称为k阶齐次线性差分方程，其中a0,a1,,ak1是常数，a00。差分方程（*）的解法为：

n用ynr,r0代入方程（*）并消去rn得到特征方程

rkak1rk1a1ra00（**）

设方程（**）有k个不同的根表示为

r1,r2,,rk，则常系数差分方程（*）的一般解可以

ncrnync1r1nc2r2kk

其中c1,c2,,ck是任意常数。

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