均值不等式与柯西不等式_柯西不等式均值不等式

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自选专题

均值不等式与柯西不等式

【均值不等式】

例题1：已知x,y均为正数，且xy，求证：2x

例题2：已知x,y,z均为正数．求证：

变式：设x,y,z为正数，证明：2x3y3z3x2yzy2xzz

【柯西不等式】

例题1：若正数a,b,c满足abc1，求

变式：若x



21,32



12a

1

12b1



12c1

21x2xyy

2y3．

xyz



yzx



zxy



1x



1y



1z

．

xy．的最小值．

例题2：已知x,y,z是正数．

1若x2若

x

y1，求

x

2x



y

2y的最小值；

2x



y2y



z2z

1，求证：

x

2x



y

2y



z

2z

1．

自选专题 变式1：设a,b,c0，abc1，求证：

a2ab2bc2c35．

变式2：已知正数x,y满足xyzxyz，求

【能力提升】

1、设a,b,c均为正实数，求证：

1xy1yz2zx的最大值． 12a12b12c1bc1ac1ab．

2、设正数a,b,c满足abc3，求证：a

3、已知a,b,c0,，且abc1，求 1a3bcabbcca bc1b3ca1c3ab的最小值．