数列不等式放缩技巧_数列不等式放缩法

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数列不等式放缩技巧 何谓放缩？就是当要证明不等式A

i1n

简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。

【知识技巧】

1、放缩的几种形式：

①构造特殊数列求和进行放缩； 技巧积累：(1)11111＜=(n≥2）；＜n2n(n1)n1nn

21n2n

21n42=44n21=2（11）2n12n1(2)

（3）2(n1n)12(nn1)n(4)

(5)2n2n2n2n111n1n(n2)n2nnnnnn1(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121

1n31nn21111n(n1)(n1)n(n1)(n1)n1n1



(6)Tr1rCn11n1111n12nn1n111n!11111r(r2)rr!(nr)!nr!r(r1)r1rn

(7)(11)n1111n213215

n(n1)2

②应用基本不等式或函数单调性放缩；

③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。

2、放缩的注意事项

11112nn1(2n1)2(2n3)2n2n12n32111)n1n2n(1n)，(1)这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式

a＜f(n)时，大可不必放缩； i

i1n

②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。

③可以只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项）。

【例题讲解】

一、通项公式的放缩

1、（201

3广东理）设数列

an的前n项和为Sn.已知

2Sn1

2an1n2n,nN*.n33

(Ⅰ)求a2的值;

a11,(Ⅱ)求数列an的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有

2、求证:

3、（2012广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，n∈N,且a1，﹡

1a1a

2

17.an

46n111

512

(n1)(2n1)49n

3a2+5，a3成等差数列．

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有

二、递推式的放缩

1、已知xxn4,x1,求证:当n2时,n1

1xn1

3.a1a2an

2x222

ii1

n

1n

an1(1

2、已知数列{an}满足：a11，证明：因为an1(1即an1an

n1n

aa3)a(n1,2,3)．求证： n1nn

2n12n

n)an，所以an1与an同号，又因为a110，所以an0，n

2n

an0，即an1an．所以数列{an}为递增数列，所以ana11，2nnn12n

1即an1annann，累加得：ana12n1．

22222

12n1112n1

令Sn2n1，所以Sn23n，两式相减得：

2222222

n1n111111n1

Sn23n1n，所以Sn2n1，所以an3n1，22222222

n1

故得an1an3n1．

三、加强命题

1、数列an中，a1

33nan1，对任何n≥2,nN，都有an。22an1n

1（1）求通项公式an；

（2）证明：对任何nN，a1a2an＜2n!

四、利用不等式或函数放缩

1.设Sn

求证n(n1)

S

2n



(n1)2

.2

解析: 此数列的通项为ak

k(k1)

k(k1),k1,2,,n.kk11，n，n

1kkSn(k)

222k1k

1即n(n1)S

n



n(n1)n(n1)2 .2222、设a0，如图，已知直线l:yax及曲线C：yx2，C上的点Q1的横坐标为a1（0a1a）.从C上的点Qnn1作直线平行于x轴，交直线l于点Pn1，再从点Pn1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn1.Qnn1,2，n的横坐标构成数列an.（Ⅰ）试求an1与an的关系，并求an的通项公式；（Ⅱ）当a1,a11时，证明

(a

k

1n

k

ak1)ak2

1；

32n1（Ⅲ）当a1时，证明(ak

ak1)ak2.k1

解析:ana（a12n1)（过程略）.a

2，∵证明（II）：由a1知an1an

a



1，∴11.a2,a32416

∵当k1时，a

n∴

(a

k1

k2

a3

1，16

k

ak1)ak2

1n11.(akak1)(a1an1)16k11632

2.ak

证明（Ⅲ）：由a1知a

k1

∴(akak1)ak2(akak1)ak21恰表示阴影部分面积，显然(a∴(a

k1n

k

ak1)ak1

ak

ak1

x2dx

④

n

k

2ak1)ak2(akak1)ak1

k1

k1

n

ak

ak1

x2dx0xdx

a1

131.a133

【课后练习】

1、（2014广东文）设各项为正数的数列an的前n和为Sn,且Sn满足

Sn2(n2n3S)nn3(n)n0N, *

(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有

1

a1(a11)a2(a21)





an(an1)

32、(2014新课标2理)已知数列an满足a1=1，an13an1.（Ⅰ）证明an是等比数列，并求an的通项公式；

（Ⅱ）证明：…+.12n3、已知an4n2n,T

n

2n,求证:T1T2T3Tn3.2a1a2an4、已知数列an中，a11,a2（1）求数列an的通项公式。（2）证明：对一切nN,有



(n1)an

1。,且an1n≥2）

4nan

2a＜k

6k1

n

5．在数列{an}中,已知a12,an1

2an

an1

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）求证：a1(a11)a2(a21)an(an1)3 6.(2009陕西卷理)已知数列xn}满足，x1＝

11xn＋1＝,nN*.2’1xn

猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

n1

(Ⅱ)证明：|xn1-xn|≤()。

126

57．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2Sn.an2an12(1)求证：Sn；

(2)



数列an中，已知a12aa1a2an1。n8、，且对一切正整数，都有n

1111111≥求证：aaan242n 1

2*

9、(2014安徽理)设实数c0，整数p1，nN.(1)证明:当x1且x0时,(1x)p1px;(2)数列{an}满足a1，an1证明：anan1c

.p1p

ana1n, pp10、已知数列an满足a11,an12an1(nN*).（I）求数列an的通项公式；（II）若数列{bn}滿足4142（Ⅲ）证明：

b1b

14bn1(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列；

an1a1a2n

...n(nN*).23a2a3an1

2y0,ynx3n

x0,11、设不等式组

表示的平面区域为D,设D内整数坐标点的个数为an.设

n

n

Sn

111an1an2a2n,当n2时,求证:11117n1

1a1

a

2a

3a2n

12.（1）求证:111

31n

 212

n

（2）证明：121，n1,nN.

13、(2008浙江)已知数列a,an0,a10,an12an11an2(nN).n

记Sna1a2an,T(1)anan1;(2)S

n



11a1(1a1)(1a2)(1a1)(1a2)(1an)

.求证:当nN时.

n

n2;(3)Tn

3.14、(2011广东理)设b0,数列an满足a1=b,an（1）求数列an的通项公式；

nban

1(n2),an12n

2bn1

（2）证明：对于一切正整数n,ann1115、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2an(1)n，n1（1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对任意的整数m4，有

1117 a4a5am816、已知函数yf(x),xN*,yN*，满足：

①对任意a,bN*,ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)； ②对任意nN*都有f[f(n)]3n.（I）试证明：f(x)为N上的单调增函数；（II）求f(1)f(6)f(28)；（III）令anf(3n),nN*，试证明：.n11

≤4n2a1a2

11 an4

*