数理逻辑考试题及答案_数理逻辑试题及答案
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“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案
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一、命题逻辑基本知识（5分）
1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）（0）A：((pq)((pq)(pq))) r（1）B：(p(qp))(rq)（2）C：(pr)(qr)（3）E：p(pqr)（4）F：(qr)r 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）
（0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(pq)qp。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为：((p q)→s)p q)→(r s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。
二、命题逻辑等值演算（5分）
1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分）
（0）求公式p→((q∧r)∧(p∨(q∧r)))的主析取范式。
解：p→((q∧r)∧(p∨(q∧r))) p∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧q∧r)
p∨(q∧r∧p)∨0 (p∧q∧r)∨(p∧1∧1)∨(q∧r∧p)(p∧(q∨q)∧(r∨r))∨(q∧r∧p)(p∧(q∨q)∧(r∨r))∨m7 (p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨m7 m0∨m1∨m2∨m3∨m7.（1）求公式((p→q))∨(q→p)的主合取范式。
解：((p→q))(q→p)
(p→q)(p→q)(p→q) pq M2.（2）求公式(p→(p∨q))∨r的主析取范式。
解：(p→(pq))r p(pq)r (ppq r)1 m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）
（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：
甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。
乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。
丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。
村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？ 解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。
判断公式F((p1q2)(p1q2))((p3q1)(p3q1))((p2r1)(p2r1))
p1q2p3q1q2r11q2p3r1，由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。
说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。
（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：
① 若赵去，钱也去。② 李、周两人必有一人去。
③ 钱、孙两人去且仅去一人。④ 孙、李两人同去或同不去。⑤ 如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？
解：① 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。
②(1)(pq)
(2)(su)
(3)((qr)(qr))
(4)((rs)(rs))
(5)(u(pq))
③(1)~(5)构成的合取式为：
A=(pq)(su)((qr)(qr))((rs)(rs))(u(pq))(pqrsu)(pqrsu)由此可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。
三、命题逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5分）（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。解：形式化：
p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。前提：p(qr)，pq 结论：rs 证明：① p(qr)
【前提引入】
② p(qr) pqr
【①置换】 ③ pq
【前提引入】
④ r
【②③假言推理】 ⑤ r s
【④附加规则】 ⑥ r∨s
【⑤置换】
⑦ rs
【⑥置换】
证毕。
（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。所以，李同学不是乐山人。解：形式化：
p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人；s：王同学喜欢吃雅鱼。前提：(pq) r，r s，s，p 结论：q 证明：①(pq) r
【前提引入】
② r s
【前提引入】
③(pq) s
【①②假言三段论】 ④ s
【前提引入】 ⑤ (pq)
【③④拒取式】 ⑥ pq
【⑤置换】 ⑦ p
【前提引入】
⑧ q
【⑥⑦析取三段论】
证毕。
（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才大于6。现有n大于5。所以，若m大于6，则m是奇数。解：形式化：
p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m大于6。前提：(pq) r，s p，q 结论：s r 证明：① q
【前提引入】
② sq
【①附加规则】（这是证明的关键）③ s q
【②置换】 ④ s p
【前提引入】 ⑤(s q）q（s p）
【③④合取】 ⑥ s(pq)
【⑤置换】 ⑦(pq) r
【前提引入】
⑧ sr
【⑥⑦假言三段论】
证毕。四、一阶逻辑的基本概念（5分）
1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。共2分）（0）人人都生活在地球上。
解：x(F(x)→G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x生活在地球上。（1）有的人长着金色的头发。
解：x(F(x)G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x长着金色的头发。（2）没有能表示成分数的无理数。
解：x(F(x)G(x))，其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数。（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。
解：xy(F(x) G(y)→S(x,y))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。（4）有的学生不住在校内。
解：x(F(x)G(x))，其中，F(x)：x是学生，G(x)：x住在校内。（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。解：x(F(x) y(G(x)→S(x,y)))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。
2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共3分）
（0）x(F(x) G(x))解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。
则在I1解释下，x(F(x) G(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是中国人，G(x)：x是美国人。
则在I2解释下，x(F(x) G(x))为假命题。
（1）x(F(x) G(x) H(x))解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是教师，G(x)：x是党员，H(x)：x是班主任。
则在I1解释下，x(F(x) G(x) H(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，H(x)：x是班主任。
则在I2解释下，x(F(x) G(x) H(x))为假命题。
（2）x(F(x)y(G(y) H(x,y)))解：取解释I1：个体域为整数集合，F(x)：x是正整数，G(x)：x是负整数，H(x,y)：x比y大。则在I1解释下，x(F(x)y(G(y) H(x,y)))为真命题。
取解释I2：个体域为自然数集合，F(x)：x是奇数，G(x)：x是偶数，H(x,y)：x比y大。则在I2解释下，x(F(x)y(G(y) H(x,y)))为假命题。五、一阶逻辑等值演算（5分）
1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共1分）（0）证明等值式：x(A(x)B) xA(x)B。证明：x(A(x)B) x(A(x)B) xA(x)B x A(x)B x A(x)→B。
（1）证明等值式：x(A(x)B)xA(x)B。解：x(A(x)B) x(A(x)B) x A(x)B x A(x)B x A(x)→B2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）（0）x(F(x)→G(x))解：x(F(x)→G(x)) x (F(x)G(x)) x(F(x) G(x))（1）x(F(x) G(x))解：x(F(x) G(x)) x (F(x)G(x)) x(F(x) G(x)) x(F(x)→G(x))（2）yF(x,y)xG(x,y,z)解：yF(x,y)xG(x,y,z) yF(u,y)xG(x,v,z) y x(F(u,y)G(x,v,z))（3）xF(x)→y(G(x,y)H(x,y))解：xF(x)→y(G(x,y)H(x,y)) zF(z)→y(G(x,y)H(x,y)) z(F(z)→y(G(x,y)H(x,y))) zy(F(z)→(G(x,y)H(x,y)))
3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）（0）举例说明“对无分配律”。
解：对无分配律指：不存在等价关系x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。x(A(x)B(x))的真值为真，而xA(x)xB(x)的真值为假。
（1）举例说明“对无分配律”。
解：对无分配律指：不存在等价关系x(A(x)B(x)) x A(x)x B(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。x(A(x)B(x))的真值为假，而x A(x)x B(x))的真值为真。六、一阶逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共5分）（0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车。所以，有的人不喜欢步行。（个体域为人类集合）解：形式化：
F(x)：x喜欢步行；G(x)：x喜欢骑自行车；H(x)：x喜欢乘汽车。前提：x(F(x)→G(x))，x(G(x)H(x))，xH(x)结论：xF(x)证明：① x(F(x)→G(x))
【前提引入】
② F(y)→G(y)
【-】
③ x(G(x)H(x))
【前提引入】 ④ G(y)H(y)
【-】 ⑤ G(y)→H(y)
【④置换】
⑥ F(y)→H(y)
【②⑤假言三段论】 ⑦ H(y)→F(y)
【⑥置换】 ⑧ H(y)→x F(x)
【⑦ + 】 ⑨ xH(x)→x F(x)
【⑧ + 】 ⑩ xH(x)
【前提引入】 ⑾ x F(x)
【⑨⑩假言推理】
证毕。
（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且聪明。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）解：形式化：
F(x)：x是科学工作者；G(x)：x刻苦钻研；H(x)：x聪明；I(x)：x事业成功；a:王大海。前提：x(F(x)→G(x))，x(G(x)H(x)→I(x))，F(a)，H(a)。结论：I(a)证明：① F(a)
【前提引入】
② x(F(x)→G(x))
【前提引入】 ③ F(a)→G(a)
【②-】
④ G(a)
【①③假言推理】 ⑤ H(a)
【前提引入】 ⑥ x(G(x)H(x)→I(x))
【前提引入】 ⑦ G(a)H(a)→I(a)
【⑥-】 ⑧ G(a)H(a)
【④⑤合取】
⑨ I(a)
【⑦⑧假言推理】
证毕。
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